[HDU-6791] 2020HDU多校第三场T1(回文自动机)
[HDU-6791] 2020HDU多校第三场T1(回文自动机)
前置知识：
2.回文自动机
3.回文串与\(\text{Border}\)
3.1:回文串的\(\text{Border}\)也是回文串
若有回文串\(S\)的一个\(\text{Border} :T\)，则\(S_{1,|T|}=S_{|S|-|T|+1,|S|}=reverse(S_{1,|T|})\)
故\(T\)也是一个回文串
3.2:遍历回文自动机的\(fail\)链，能得到当前串的所有\(\text{Border}\)(基于3.1得到)
约定:串\(S\)的\(\text{Border}\)集合为\(B(S)\)，字符集为\(\Sigma\)
题意:
设随机空串末尾添加\(\Sigma\)中的字符，第一次出现子串\(S\)的期望长度为\(E(S)\)
给定一个串，每次查询它的两个回文子串\(A,B\)，比较\(E(A),E(B)\)
起源？
一切的起源都是" 国家集训队论文2018 :1-浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用 "的一个结论。。。
还有为什么会是回文子串呢？因为只有回文自动机能访问子串的所有\(\text{Border}\)。。。
结论 以及 口胡证明?
\(\begin{aligned}E(S)=\sum_{T\in B(S)}|\Sigma|^{|T|}\end{aligned}\)(???)
在原论文给出了生成函数性的证明，实际可以直接口胡(好吧也差不多)，大致分成两个步骤
1.\(E(S)=\sum_{i=0}^{\infty}\)长度为\(i\)依然不包含\(S\)的概率(即把长度为\(i\)时恰好合法转化为了\(0..i-1\)时不合法)
2.设所有长度下不合法的串集合为\(G\)(每个不合法串有概率\(G(T)\))，合法的串集合为\(F\)(每个合法串也有概率\(F(T)\))
由第一步\(E(S)=\sum G(T)\)，合法串的概率不会重复，所以\(\sum F(T)=1\)
考虑\(G\)中所有的串，如果在后面接上\(S\)必然合法，但是可能在更早的时候就结束了，这是必然满足接上的前缀是\(\text{Border}\)
也就是说，在\(G\)集合后面接上\(S\)后，不仅会得到\(F\)集合，还会得到\(F\)集合后面额外接上\(|S|-|R|,(R\in B(S))\)长度字符的状态
所以有\(\sum G(T)\cdot (\frac{1}{|\Sigma|})^{|S|}=\sum_{R\in B(S)}\sum F(T)\cdot (\frac{1}{|\Sigma|})^{|S|-|R|}\)
化简且带入\(\sum F(T)=1\)，得到\(E(S)=\sum G(T)=\begin{aligned}\sum_{R\in B(S)}|\Sigma|^{|R|}\end{aligned}\)
那么比较问题就落到了比较\(\text{Border}\)上面
视答案为为一个\(26\)进制数从高位到低位比较，转化为直接从大到小比较\(\text{Border}\)序列的字典序即可
建出回文自动机后，倍增找到当前查询串对应的状态，所有的\(\text{Border}\)就是\(fail\)链上所有非空状态长度
比较字典序可以
1.倍增+hash
2.可以根据\(\text{Border}\)的性质分解为等差数列后暴力比较
3.像后缀数组一样，倍增地去为所有节点的字典序排序，这样查询是\(O(1)\)的
hash应该细节比较少，但是常数大
以下是hash版本
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i<=i##end;++i)
#define drep(i,a,b) for(int i=a,i##end=b;i>=i##end;--i)
char IO;
template <class T=int> T rd(){
T s=0;int f=0;
while(!isdigit(IO=getchar())) if(IO=='-') f=1;
do s=(s<<1)+(s<<3)+(IO^'0');
while(isdigit(IO=getchar()));
return f?-s:s;
}
const int N=1e5+10;
const ll P1=1e9+13,P2=19260817;
const ll K1=123213,K2=342525;
int n;
char s[N];
int now,len[N],fail[N],nxt[N][26],pos[N],cnt;
int Pow1[N],Pow2[N];
int fa[N][18],h1[N][18],h2[N][18];
void Init(){
rep(i,0,cnt) memset(nxt[i],fail[i]=0,104);
len[1]=-1;
fail[now=0]=fail[1]=cnt=1;
}
int Find(int x,int y){
while(s[y]!=s[y-len[x]-1]) x=fail[x];
return x;
}
void Extend(int i,int c){
now=Find(now,i);
if(!nxt[now][c]){
fail[++cnt]=nxt[Find(fail[now],i)][c];
len[nxt[now][c]=cnt]=len[now]+2;
}
pos[i]=now=nxt[now][c];
}
int Que(int l,int p){
l=p-l+1,p=pos[p];
drep(i,17,0) if(len[fa[p][i]]>=l) p=fa[p][i];
return p;
}
int main(){
rep(i,Pow1[0]=Pow2[0]=1,N-1) Pow1[i]=1ll*Pow1[i-1]*K1%P1,Pow2[i]=Pow2[i-1]*K2%P2;
rep(kase,1,rd()){
Init(),n=rd(),scanf("%s",s+1);
rep(i,1,n) Extend(i,s[i]-'a');
rep(i,2,cnt) {
fa[i][0]=fail[i],h1[i][0]=h2[i][0]=len[i];
rep(j,1,17){
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
if(fa[i][j]>1){
h1[i][j]=(1ll*h1[i][j-1]*Pow1[1<<(j-1)]+h1[fa[i][j-1]][j-1])%P1;
h2[i][j]=(1ll*h2[i][j-1]*Pow2[1<<(j-1)]+h2[fa[i][j-1]][j-1])%P2;
}
}
}
rep(q,1,rd()) {
int A=rd(),B=rd(),C=rd(),D=rd();
A=Que(A,B),C=Que(C,D);
drep(i,17,0) if(fa[A][i]>1 && fa[C][i]>1 && h1[A][i]==h1[C][i] && h2[A][i]==h2[C][i]) A=fa[A][i],C=fa[C][i];
A=max(len[A],0),C=max(len[C],0);
if(A==C) puts("draw");
else if(A<C) puts("sjfnb");
else puts("cslnb");
}
}
}
