字符串的Period(周期),Border

字符串的Period(周期),Border

前置知识：\(\text{kmp}\)，\(\text{AC}\)自动机

约定：字符串\(S\)的长度为\(|S|\)，原串的长度为\(n\)，\([l,r]\)的子串为\(S_{l,r}\)，下标从\(1\)开始，前缀\(S_{1,i}=pre_i\),后缀\(S_{i,n}=suf_i\)，设\(S\)的\(\text{Border}\)集合为\(B(S)\)，设最长的\(\text{Border}\)为\(\text{LBorder}\)

\(\text{Border}\):

定义字符串\(S\)的一个\(\text{Border}\)为一个满足\(pre_i=suf_{n-i+1}\)的前缀，\(S\)和\(\empty\)也是一个\(\text{Border}\)

\(\text{kmp,AC}\)自动机的\(fail\)指针均指向当前串的\(\text{LBorder}\)

\[\ \]

\(\text{Period}\)(周期):

若\(\exists |T|\in B(S), 2|T|\ge n\),则\(S\)的一个周期是\(n-|T|+1\)

\(\text{Periodicity Lemma}:\)

若\(p,q\)是\(S\)的周期，且\(p+q+\gcd(p,q)\leq |S|\),则\(\gcd(p,q)\)也是\(|S|\)的一个周期

证明的话

\[\ \]

关于\(\text{Border}\)的推论:

1.\(B(S)=B(\text{LBorder})\cup\{S\}\)

2.串\(S\)的所有\(\text{Border}\)长度构成了不超过\(\log n\)个等差数列

证明：

如果\(S\)的\(\text{LBorder}\)，设其为\(T\)满足\(2|T|\ge |S|\)，则所有\(R\in B(S),2|R|\ge |S|\)形成了一个等差数列

参过下面这张图

则长度为\(|T|-(|S|-|T|)\)，即标为红色的那一段，它也是原串的一个\(\text{Border}\)

更简洁的解释是，\(S\)有着长度为\(|S|-|T|\)的周期

所以实际上不止是\(2|R|\ge |S|\)的串，而是所有\(\forall|R|\equiv |S|\pmod {|S|-|T|}\)的\(R\)都是\(S\)的\(\text{Border}\)

这样的失配过程就可以归纳为：

每次\(mod\)最短周期\(|T|-|S|\)，而取模使得长度至少减半，故可以分成\(\log n\)段等差数列

\[\ \]

并且任意一段最大项为\(x\)，差为\(d\)的等差数列，最小项是\(x\mod d+d\)

(\(+d\)是因为在\(x\mod d+d\)下一次可能跳的位置\(>x\mod d\))

应用：对于\(\text{kmp,AC}\)自动机的字符集过大导致无法存储每种字符的转移，而又有类似可持久化的匹配操作时，

直接暴力跳\(fail\)会导致复杂度退化，但是可以用等差数列的性质来快速跳

每次形成等差数列时，周期中失配位置的下一个字符都相同

故如果在等差数列上失配，可以直接通过对于差值取模快速跳过，以保证复杂度为\(O(\log n)\)

相比于倍增处理，这样跳常数小，实现简单

具体看下面的习题代码

练习模板: Luogu P5829 求公共\(\text{Border}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
enum{N=1000010};
char s[N];
int _,i,j,nxt[N];
int main(){
	for(scanf("%s",s+1),i=2;s[i];++i){
		while(j && s[i]!=s[j+1]) j=nxt[j];
		if(s[i]==s[j+1]) j++;
		nxt[i]=j;
	}
	for(scanf("%d",&_);_--;){
		for(scanf("%d%d",&i,&j),i=nxt[i],j=nxt[j];i!=j;){
			if(i<j) swap(i,j);
			if(nxt[i]>i/2) {
                // 产生等差数列，快速跳过
				int d=i-nxt[i];
				if(j%d==i%d) i=j;
				else i=i%d+d;
			} else i=nxt[i];
		}
		printf("%d\n",i);
	}
}