下降幂多项式

下降幂多项式


下降幂的定义

下降幂\(\text{Falling Factorial}\)

下降幂多项式\(\text{Falling Factorial Polynomial}\)下面简称\(\text{FFP}\)

\(x\)\(n\)阶下降幂\(x^{\underline n}=\prod_0^{n-1}(x-i) = \frac{x!}{(x-n)!}\)

一个下降幂多项式\(F(x)=\sum a_ix^{\underline i}\)

学习了斯特林数或许对于下降幂的性质能够有所了解

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快速求解\(x^{\underline n}\)的展开形式

\(x^{\underline{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)\)

考虑倍增求解,假设已知\(F(x)=x^{\underline{n}}\)

要求\(G(x)=x^{\underline{2n}}\)

显然\(G(x)=F(x)F(x-n)\)

\(\begin{aligned} F(x-n)=\sum_{i=0}^{n} [x^i]F(x) \cdot (x-n)^i\end{aligned}\)

用一次卷积处理这个二项展开即可

复杂度为\(O(n\log n)\)


FFP与其点值的\(\text{EGF}\)

点值的\(\text{EGF}\)\(\begin{aligned} EGF(F(x))=\sum_0^{\infty}\frac{F(i)x^i }{i!}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\sum_{j=0}^{n} \frac{i!}{(i-j)!}\cdot F_j\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{\infty}x^i \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{(i-j)!}\cdot F_j\end{aligned}\)

换一下顺序

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \sum_{j=i}^{\infty}\frac{1}{(j-i)!} x^j\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^i \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!} x^j\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^i e^x\end{aligned}\)

那么直接和\(e^x\)卷积就可以得到\(F(x)\)\(\text{EGF}\)

Tips: \(e^x\)直接带入展开式\(\begin{aligned} e^{ax}=\sum_0^{\infty}\frac{(ax)^i}{i!} \end {aligned}\)

如果要从\(\text{EGF}\)得到\(F(x)\)

\(\begin{aligned}EGF(F(x))=\sum_{i=0}^{n} F_i \cdot x^ie^x\end{aligned}\)

\(\begin{aligned} F_i=\frac{EGF(F(x))}{x^ie^x} \end{aligned}\)

那么就直接卷上\(e^{-x}\)就可以了

即可以通过简单卷积完成\(\text{FFP} \Longleftrightarrow \text{EGF}\)的转化

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FFP卷积

求出\(\text{EGF}\),然后点值对应相乘(注意乘完之后要补上一个\(i!\)),最后再反求\(F(x)\)

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Tips: 下面的知识恐怕需要先学多点求值/快速插值

多项式转FFP

带入\(0,\cdots n-1\),多点求值得到\(\text{FFP}\)点值的\(EGF\),然后求得到\(\text{FFP}\)

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FFP转多项式

求出\(F(x)\)\(EGF\),然后带入前\(n\)项的值,快速插值回来即可

由于\(x_i\)是连续的,所以不需要再多点求值求解\(\prod\frac{1}{x_i-x_j}\),可以直接阶乘得到

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关于上升幂

\(x^{\overline n}=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\)

容易发现的是\(x^{\overline n}=(-x)(-((-x)-1))(-((-x)-2))\cdots (-(-x-(n-1)))=(-1)^n (-x)^{\underline{n}}\)

所以上升幂多项式与普通多项式的转化 可以认为是上面的点值变成了\(0,-1,\cdots ,-(n-1)\),奇数项系数取反

posted @ 2020-06-09 16:03  chasedeath  阅读(3763)  评论(0编辑  收藏  举报