Stirling数小记
Stirling数小记
定义/组合意义
第一类斯特林数：\(\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}\)表示\(n\)个不同元素分为\(m\)个圆排列的方案数
有标号的第一类斯特林数\(s(n,m)=(-1)^{n-m}\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}\)
第二类斯特林数：\(\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}\)表示\(n\)个不同元素分为\(m\)个集合的方案数
注意圆排列和集合都是相互之间无序的
递推方法
第一类斯特林数
\(\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\ m-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ m\end{bmatrix}\)
即新建一个圆排列，或者插入前面\(n-1\)个元素中任意一个的后面
显然的，有标号的第一类斯特林数递推式就是
\(\begin{bmatrix}n\\ m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\ m-1\end{bmatrix}-(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\ m\end{bmatrix}\)
第二类斯特林数
\(\begin{Bmatrix}n\\ m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\ m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\ m\end{Bmatrix}\)
即新建一个集合，或者加入前面的\(m\)个集合
第二类斯特林数的通项公式
\(\begin{aligned} \begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{m-i}\binom{m}{i} i^n \end{aligned}\)
其组合意义是枚举生成了多少个有序的集合，然后容斥，最后除去集合的顺序
生成函数表示与行/列求解
固定\(n\)，以\(m\)为形式幂指数，则第一类斯特林数的普通生成函数
\(\begin{aligned}\text{OGF}=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)=x^{\overline{n}}\end{aligned}\)
(其意义就是上面的递推公式)
倍增+卷积二项展开求出\(F(x+i)\)即可做到\(O(n\log n)\)求出一行
固定\(m\)，以\(n\)为形式幂指数，则第一类斯特林数的指数型生成函数
\(\begin{aligned}\text{EGF}= & \frac{1}{m!}\cdot (\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(i-1)!}{i!}x^i)^m\\= & \frac{1}{m!}\cdot (\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i})^m\end{aligned}\)
设\(F(x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i}\)
\(\begin{aligned} \because F'(x)=&\sum_{i=1}^{\infty}x^{i-1}=\frac{1}{1-x}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \therefore F(x)=\int \frac{1}{1-x}=-\ln(1-x)\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}\therefore \text{EGF} = & \frac{1}{m!}\cdot (-\ln(1-x))^m\\= & \frac{1}{m!}\cdot (-1)^m\cdot \ln^m(1-x)\end{aligned}\)
(就是百度百科上的那个，它什么都没讲清楚)
多项式快速幂即可做到\(O(n\log n-n\log ^2n)\)求一列
而在上式的推导过程中额外加入\((-1)^m\)的常数，并且把\(x^i\)换成\((-x)^i\)可以得到有标号第一类斯特林数的指数型生成函数
\(\begin{aligned} \text{EGF} = & \frac{1}{m!}\cdot (\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-x)^i}{i})^m\\=& \frac{1}{m!}\cdot \ln^m(1+x)\end{aligned}\)
第二类斯特林数的一行可以直接由通项公式做卷积得到
固定\(m\)，以\(n\)为形式幂指数，则第二类斯特林数的指数型生成函数表示为
\(\begin{aligned} \text{EGF} &=\frac{1}{m!}({\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i!}})^m\\ &=\frac{1}{m!}(e^x-1)^m \\ &=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m (-1)^{m-1} \binom{m}{i}e^{ix}\end{aligned}\)
实际上由这个二项展开的形式也可以发现，它就是上面通项公式的生成函数推导
可以求一列，复杂度为\(O(n\log n-n\log ^2n)\)常数很大
虽然没什么意义，但是还是写一下二元形式
第一类斯特林数:
\(\begin{aligned} \text{EGF}=e^{-\ln (1-x)y}\end{aligned}\)
第二类斯特林数:
\(\begin{aligned}\text{EGF}=e^{\begin{aligned}(e^x-1)y\end{aligned}}\end{aligned}\)
注意元\(x\)为指数型，\(y\)是普通型
斯特林数与幂指数/上升幂/下降幂
第一类斯特林数：
上面已经说过\(\begin{aligned}x^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^{n}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\end{aligned}\)
同理，用有标号的第一类斯特林数将\(x^{\underline{n}}\)展开的式子是
\(\begin{aligned}x^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n- i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i\end{aligned}\)
第二类斯特林数：
类似通项公式的求解，组合意义将幂指数展开，视\(x^n\)为将\(n\)个元素随意放在\(x\)个位置，则枚举\(x\)个位置中那些被选择
\(\begin{aligned} x^n=\sum_{i=0}^n \binom{x}{i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \end{aligned}\)
把\(\binom{x}{i}i!\)写成下降幂的形式，得到优美的式子
\(\begin{aligned} x^n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}\end{aligned}\)
而实际上由上式二项反演也可以得到通项公式
\(\begin{aligned} \begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{m-i}\binom{m}{i} i^n \end{aligned}\)
关于下降幂多项式的快速转化，可以再借鉴这个
斯特林变换/斯特林反演
对于斯特林变换
\(\begin{aligned} a_n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}b_i \end{aligned}\)
设\(A(x),B(x)\)为数列\(a,b\)的指数型生成函数，带入前文推导的式子，则得到上式的生成函数表达就是
\(A(x)=B(e^x-1)\)
显然得到\(B(x)=A(\ln(x+1))\)，而\(\ln(x+1)\)显然转化为有标号的第一类斯特林数
因此得到斯特林反演的表达形式是
\(\begin{aligned}b_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}a_i\end{aligned}\)
(不大可能搞类似多项式复合的方法处理这个反演吧，最多可能也就是求一个位置)
