数字航空摄影：经典计算与参数推演

一、概述

简要总结一下数字航空摄影测量中的经典计算和参数推演。

二、基础公式

1. 成图比例尺经验公式

通常，正常人眼在明视觉条件下能分辨的两点间最小距离是 0.1 mm。因此，测绘学上将地形图上 0.1 mm 所代表的实地水平距离定义为比例尺精度。

根据比例尺的定义公式：

\[比例尺 = 图上距离 / 实地距离 \]

如果我们把图上距离设定为人眼的分辨极限 0.1 mm，实地距离设定为地面分辨率（GSD），就可以得出：

\[比例尺 = 0.1 mm / GSD \]

统一单位，即：

\[比例尺 = 0.0001 m / GSD \]

将公式变形，就可以得出成图比例尺与GSD之间换算的经验公式：

\[成图比例尺分母 = GSD (米) × 10000 \]

2 航摄比例尺公式

在数字航空摄影测量中，约定如下符号定义：

• \(f\)：摄影机主距（即镜头焦距，Focal Length）。
• \(H\)：相对航高（Relative Flight Altitude），即摄影中心（镜头中心）到地面基准面的垂直距离。
• \(a\)：传感器像元尺寸（Pixel Size / Sensor Element Size），即相机感光元件上单个物理像素的大小。
• \(\text{GSD}\)：地面采样间隔（Ground Sample Distance），即影像上单个像素所代表的地面实际物理尺寸。
• \(m\)：航摄比例尺的分母（Scale Denominator），即航摄比例尺为 \(1:m\)。

根据相似三角形原理，摄影测量中的经典几何关系可以表示为航摄比例尺公式：

\[\frac{f}{H} = \frac{a}{\text{GSD}} = \frac{1}{m} \]

从上述公式我们可以推断，焦距 \(f\) 越长，或者飞行高度 \(H\) 越低，航摄比例尺的分母 \(m\) 就越小，意味着比例尺越大（影像放大），能获取更丰富的地物细节。

三、航高计算

1. 相对航高

在实际的无人机航测或航空摄影任务中，上述两组公式通常被用于逆向推导航摄参数。例如，当项目要求制作 \(1:500\) 比例尺的地形图时，根据经验公式 \(\text{GSD} = 500 \times 0.0001 = 0.05 \text{ m}\)（即 5 厘米/像素）。在已知相机硬件参数（\(f\) 和 \(a\)）以及目标 \(\text{GSD}\) 的前提下，即可利用核心公式反推无人机应当保持的相对航高：

\[H = \frac{\text{GSD} \times f}{a} \]

其中：

\[\boldsymbol{a = \frac{L}{N}} \]

• \(L\)：传感器某一方向（宽方向/高方向）的物理总长
• \(N\)：同一方向对应的像素总数

某些情况下，相机传感器可能不是正方形像元，横纵像元尺寸会存在微小差异。对于前期快速估算航高，可将 \(a\) 取值为 \(a_{avg}=\frac{a_x+a_y}{2}\) 。

2. 绝对航高

在数字航空摄影测量中，相对航高是指摄影机物镜中心（摄影中心）相对于摄影基准面（也称分区基准面高程）的垂直高度。

为了消除地形起伏对摄影比例尺的影响，这个“摄影基准面”通常是一个假定的高程起算面，其取值标准为测区或航摄分区内平均最高点高程与平均最低点高程的中间值。其计算公式为：

\[h_{\text{基}} = \frac{h_{\text{高平均}} + h_{\text{低平均}}}{2} \]

在实际飞行作业中，飞控系统通常需要输入绝对航高（即相对于平均海平面的真实海拔高度），两者的换算关系为：

\[H_{\text{绝对}} = H + h_{\text{基}} \]

四、摄影基线计算

在数字航空摄影测量中，约定如下符号定义：

• \(L_x\)：影像在航向方向上的宽度（物理尺寸）。
• \(L_y\)：影像在旁向方向上的高度（物理尺寸）。
• \(p\)：航向重叠度（Longitudinal Overlap），通常以小数表示（如 60% 记为 0.6）。
• \(q\)：旁向重叠度（Lateral Overlap），通常以小数表示（如 30% 记为 0.3）。
• \(m\)：航摄比例尺分母。
• \(W\)：测区（分区）宽度。
• \(L\)：测区（分区）长度。

摄影基线是指同一航线内相邻两张像片摄站点之间的地面投影距离。航线间隔则是相邻两条航线之间的地面投影距离。计算公式为：

\[B = L_x \times (1 - p) \times m \]

\[D = L_y \times (1 - q) \times m \]

从几何逻辑上深入剖析，摄影基线 \(B\) 与单张相片非重叠部分的地面宽度在数值上是完全等价的。我们可以将公式中的 \(L_x \times m\) 理解为单张相片在地面上的实际覆盖宽度。在连续航摄过程中，为了保证相邻像片之间达到设计要求的航向重叠度 \(p\)，后一张相片的起始边缘必须与前一张相片的尾部产生重合。这意味着，无人机在两次曝光之间向前飞行的地面距离，刚好等于前一张相片中未被重叠覆盖的独立区域长度。

因此，\(L_x \times (1 - p) \times m\) 这一表达式，本质上就是提取了单张相片地面覆盖宽度中“非重叠”的那一部分比例，并将其换算为实地距离。这个实地距离既是单张相片向前推进的有效覆盖长度，也精确对应了相邻两个摄站点之间的空间位移，即摄影基线 \(B\)。同理，旁向航线间隔 \(D\) 的计算公式 \(D = L_y \times (1 - q) \times m\) 也遵循完全相同的几何原理，它代表了相邻两条航线之间，单张相片在旁向上非重叠部分的地面宽度。

五、航片数计算

在确定了摄影基线 \(B\) 和航线间隔 \(D\) 之后，接下来需要结合测区的实际几何尺寸，推算整个航摄分区的航线数量以及每条航线所需的像片数量。为了保证测区边缘的立体模型能够完整建立，国家测绘规范对航摄范围的覆盖有严格要求：旁向边缘需超出测区界线（一般不少于像幅的50%），而航向两端则必须各超出一条摄影基线。

1. 分区航线条数

航线条数取决于测区横向净宽度 \(W\) 与航线间隔 \(D\) 的比例关系。为保证测区边缘立体模型完整，航摄影像需要向外扩展覆盖，工程上一般要求旁向外扩不小于半幅像宽。

计算公式（手算航摄规划推荐，\(W\) 为测区净宽，不含外扩）：

\[N_{\text{航线}} = \left\lceil \frac{W}{D} \right\rceil + 1 \]

注：\(\lceil \cdot \rceil\) 为向上取整函数，是航摄数量计算的标准函数。式中 \(+1\) 为工程保守余量，用于保证旁向边界外扩达标；若在计算前已经将旁向外扩范围计入测区宽度，则去掉 \(+1\)，使用 \(N_{\text{航线}} = \left\lceil \frac{W_{\text{总}}}{D} \right\rceil\)。工程计算、Excel 中需使用 CEILING 函数，禁止使用向下截断取整的 INT 函数，避免边界覆盖缺失。

2. 每航线像片数

单条航线上的像片数量取决于测区的纵向长度 \(L\) 与摄影基线 \(B\) 的比例关系。根据规范中“航向两端边界必须各超出一条基线”的硬性要求，航线实际飞行长度相当于测区长度加上两端的基线长度。因此，计算公式为：

\[N_{\text{片}} = \left\lceil {\frac{L}{B}} \right\rceil + 2 \]

公式中“+2”对应测区起点和终点各向外延伸的1条基线，保证航向两端立体模型完整无缺失，所有计算结果均需向上取整。

3. 总像片数与总模型数

有了单条航线的像片数和总航线数，即可轻松推导出整个分区的总工作量：

\[N_{\text{总}} = N_{\text{航线}} \times N_{\text{片}} \]

在航向方向上，两两相邻的像片可以形成一个立体像对（即一个立体模型）。由于每条航线上的模型数比像片数少一个，因此整个分区的总模型数为：

\[N_{\text{模型}} = N_{\text{航线}} \times (N_{\text{片}} - 1) \]

六、地形起伏对重叠度的影响

在实际的航空摄影测量中，测区往往存在复杂的地形起伏。当无人机在恒定高度（定高飞行）下作业时，相对航高 \(H\) 会随地面高程的变化而发生改变，进而导致实际的重叠度偏离设计值。

1. 实际重叠度计算

设某地面点绝对高程为 \(h\)，相对于基准面的高差 \(\Delta h = h - h_{\text{基}}\)（山顶为正，谷底为负），则该点处的实际相对航高为：

\[H' = H - \Delta h \]

由摄影基线计算公式可知，单张像片的地面覆盖宽度为：

\[W_{\text{单}} = L_x \cdot \frac{H}{f} = L_x \cdot m \]

单张像片的地面覆盖宽度与相对航高是正比关系，因而有：

\[\frac{W_{\text{单}}}{W'_{\text{单}}} = \frac{H}{H'} \]

由于 \(B = W_{\text{单}}(1-p)\)，可得重叠度的本质表达式：

\[p = 1 - \frac{B}{W_{\text{单}}} \]

则有高程 \(h\) 处的实际重叠率为：

\[p_{\text{实}} = 1 - \frac{B}{W_{\text{单}}'} = 1 - (1-p)\cdot\frac{W_{\text{单}}}{W'_{\text{单}}} = 1 - (1-p)\cdot\frac{H}{H'} \]

将 \(\dfrac{H}{H'} = \dfrac{H}{H-\Delta h}\) 在 \(\Delta h \ll H\) 条件下作一阶近似：

\[\frac{H}{H-\Delta h} \approx 1 + \frac{\Delta h}{H} \]

代入得：

\[p_{\text{实}} \approx 1 - (1-p)\left(1 + \frac{\Delta h}{H}\right) = p - (1-p)\frac{\Delta h}{H} \]

对于一个测区的最高绝对高程点和最低绝对高程点，有两个端点公式：

\[p_{\text{高}} = p + (1 - p) \times \frac{h_{\text{基}} - h_{\text{高}}}{H} \]

\[p_{\text{低}} = p + (1 - p) \times \frac{h_{\text{基}} - h_{\text{低}}}{H} \]

2. 工程意义

以上计算的是实际航向重叠度，旁向重叠度与航向完全同构，类推可直接得：

\[q_{\text{实}} = 1 - (1-q)\frac{H}{H'} \;\approx\; q - (1-q)\frac{\Delta h}{H} \]

\[q_{\text{高}} = q + (1-q)\times\frac{h_{\text{基}}-h_{\text{高}}}{H}, \qquad q_{\text{低}} = q + (1-q)\times\frac{h_{\text{基}}-h_{\text{低}}}{H} \]

根据以上公式，我们有以下判断：

• 最高点：\(h_{\text{高}} > h_{\text{基}}\)，分子 \(h_{\text{基}}-h_{\text{高}} < 0\)，故 \(p_{\text{高}} < p\)。
  飞机离山顶更近，单片地面覆盖宽度 \(W'\) 变窄，但向前推进的基线 \(B\) 没变，因此"重叠部分占像幅的比例"反而下降。这是最危险的情况，必须验算 \(p_{\text{高}}\) 是否仍满足规范下限（一般不低于 53%）。
• 最低点：\(h_{\text{低}} < h_{\text{基}}\)，分子 \(h_{\text{基}}-h_{\text{低}} > 0\)，故 \(p_{\text{低}} > p\)。
  覆盖宽度变大，重叠度增大，表现为数据冗余、内业工作量增加，一般不构成失败风险。

正因为重叠度偏差与 \(\dfrac{\Delta h}{H}\) 成正比，规范才限制分区内最大高差不得大于相对航高的 \(1/4\)，对于大比例尺航摄（如1:500），这一限制更为严格，通常要求高差不大于相对航高的 1/6。超限时只能采用分区航摄（按高程带划分多个分区分别设定 \(h_{\text{基}}\) 与 \(H\)）或仿地飞行（依据 DSM 实时调整高度，保持 \(H'\) 恒定，使全测区 \(p\) 与 GSD 一致）。