球体投影到像素空间的大小
1. 概述
需要说明的是，球体投影到像素空间的结果可能不是一个正圆，其半径或者直径大小只能估算而没有确定的值。根据参考资料，球体投影到像素空间的半径的计算公式为：
\[radius_{[clip\_space]} = radius * cot(fov / 2) / Z \tag{0}
\]
其中radius是球体的半径，fov是摄像机视场角，z是球心到摄像机位置的距离。当然，由于最后得到的是裁剪空间的大小，需要换算到屏幕像素空间。
2. 详论
根据我的理解，这个公式也是近似的。本人通过参考文献得到的推导方式如下所示。
使用参考文章4中的插图：
球体投影到像素空间的半径其实就是h的像素长度。此时，有：
\[tan\theta = radius_{[clip\_space]} / z_{[clip\_space]} \tag{1}
\]
球体被投影到裁剪空间:
由投影变换的性质可知：
\[tan(fovy / 2) = 1 / z_{[clip\_space]} \tag{2}
\]
联立(1)(2)式有，
\[radius_{[clip\_space]} = tan\theta * cot(fovy / 2) \tag{3}
\]
根据世界空间的集合关系，有：
\[tan\theta = r / l \tag{4}
\]
式(4)带入式(3)中，有：
\[radius_{[clip\_space]} = r * cot(fovy / 2) / l \tag{5}
\]
在摄像机距离球心比较远的情况下，可以认为：
\[l \approx d
\]
也就是式(0)的由来。如果需要计算准确一点，那么：
\[l = \sqrt{d^2 - r^2} \tag{6}
\]
上式带入式(5)，就会有：
\[radius_{[clip\_space]} = r * cot(fovy / 2) / \sqrt{d^2 - r^2} \tag{7}
\]
最后换算到屏幕像素空间：
\[radius_{[screen\_space]} = \frac{r \cdot cot(\frac{fovy}{2}) \cdot height} {2\sqrt{d^2 - r^2}} \tag{8}
\]
