2-SAT 学习笔记

一、SAT 问题简介

在日常的学习生活中，我们经常遇到如下问题：

在一场同学聚会上，你打算邀请 \(n\) 对 \(cp\) 参加，第 \(i\) 对 \(cp\) 的编号为 \((i,i+n)\)。但是，有一些人可能有冲突，有冲突的人不能同时参加聚会。你在每对 \(cp\) 都要挑选恰好一人参加聚会，判断是否有方案能满足上述所有条件。

对于这类问题，我们可以将 \(x,y\) 两人有冲突，理解为布尔方程“\(x\) 为假 \(y\) 为假”。假如一个布尔方程中有 \(k\) 个要求，那么就称他为 \(k-SAT\) 问题。假如像刚才举出的例子一样，只有两个要求，那就称他为 \(2-SAT\) 问题。\(k>2\) 的情况下，已经证明该问题为 \(NP\) 完全问题。因此通常只讨论 \(k=2\) 的情况。

二、2-SAT 问题

考虑上述布尔方程的逻辑推理关系。

例如，“\(x\) 为假或 \(y\) 为假”这个布尔方程，他等价于“若 \(x\) 为真，则 \(y\) 为假；若 \(y\) 为真，则 \(x\) 为假”。这感觉跟建了条边似的，所以我们建出 \(x\to !y,y\to !x\) 这两条边。其中 \(x\) 表示“\(x\) 为真”，\(!x\) 表示“\(x\) 为假”。这样，假如有一个状态 \(a\)，它可以通过走有向边走到状态 \(b\)，那就意味着若最终答案中有状态 \(a\)，则必有状态 \(b\)。

那么，这张有向图该如何解决上述问题呢？

在这个问题中，我们可以将邀请 \(i\) 作为真，将邀请 \(i+n\) 作为假，这样就可以根据上述布尔方程将这张图 \(G\) 建立出来。

根据反证法，只要一对 \(cp\) 不会出现“\(i\) 参加则 \(i+n\) 也参加，\(i+n\) 参加则 \(i\) 也参加”这种情况，那么我们就一定能找出一个满足要求的解。而出现上述情况，当且仅当 \(i\) 和 \(i+n\) 处在同一个强连通分量中。因此我们直接对 \(G\) 进行 \(SCC\) 缩点即可。

三、2-SAT 问题求特解

当然，\(2-SAT\) 问题的可玩性远不止于此，我们还可以根据 \(tarjan\) 的过程量求出一组特解。

考虑两点 \(i,i+n\) 所在的强连通分量缩成的点 \(x,y\)，一共只有两种位置关系：

1. \(x\) 能到达 \(y\) 或 \(y\) 能到达 \(x\)。不妨设情况为第一种，这种情况下，若选择 \(x\)，则可以根据 \(x\) 推出 \(y\)。所以这种情况下，一定选能被到达的点，而被到达的点的拓扑序一定更大。
2. 两点彼此不能到达。那么二者互不影响，选谁都行。

而在一般的 \(tarjan\) 中，拓扑序越大的强连通分量编号越小，所以我们只需要在 \(x,y\) 中，选择编号更小的就可以了。

下给出模板题代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e6+5;
int n,m,cnt,id,dfn[N],low[N];
int tp,st[N],vist[N],idx[N];
vector<int>g[N];int ans[N];
void tarjan(int x){
	st[++tp]=x,vist[x]=1;
	dfn[x]=low[x]=++id;
	for(auto y:g[x]){
		if(!dfn[y]) tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
		else if(vist[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}if(dfn[x]!=low[x]) return;
	while(st[tp+1]!=x){
		idx[st[tp]]=cnt;
		vist[st[tp--]]=0;
	}++cnt;
}void two_sat(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,a,y,b;cin>>x>>a>>y>>b;
		g[x+a*n].push_back(y+(b^1)*n);
		g[y+b*n].push_back(x+(a^1)*n);
	}for(int i=1;i<=n*2;i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(idx[i]==idx[i+n])
			return cout<<"IMPOSSIBLE",void();
		ans[i]=(idx[i]<idx[i+n]);
	}cout<<"POSSIBLE\n";
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<ans[i]<<" ";
}signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	return two_sat(),0;
}

四、2-SAT 问题求选择一状态后导致结果

这类题最经典的譬如 [JSOI2019] 精准预测。题目可能会问你：假如我第 \(x\) 个值选了 \(0/1\)，那么第 \(y\) 个值会选啥？

这一类问题就要充分利用 \(SCC\) 缩点后的 \(DAG\) 图了。我们可以在这张图上进行（类）\(dp\) 操作（你问我为啥是类 \(dp\)？因为你还可以合并 \(bitset\) 这类数据结构……）。这样就可以直接查询了。

五、常用小 \(trick\)

1. 可以将某些多要求的布尔方程通过暴力枚举转化成多种 \(2-SAT\) 情况（[NOI2017] 游戏）。
2. 假如用 \(2-SAT\) 分出两个集合，可以选择求出特解后通过交换元素的方式得到其他解（[POI2011] Conspiracy）。