[HAOI2018] 染色 题解

第一眼肯定想到容斥。设 \(G(k)\) 表示至少有 \(k\) 种颜色符合要求，\(F(k)\) 表示恰好有 \(k\) 种颜色符合要求。显然 \(k\) 的上界 \(t=\min(m,\lfloor\frac ns\rfloor)\)，那么就有：

\[G(k)=C_{m}^{k}(k!\prod_{i=0}^{k-1}C_{n-is}^{s})(m-k)^{n-ks} \]

\[=\frac{m!}{k!(m-k)!}k!\frac{n!}{(s!)^k(n-ks)!}(m-k)^{n-ks} \]

\[=\frac{n!m!(m-k)^{n-ks}}{(s!)^k(n-ks)!(m-k)!} \]

\[F(k)=\sum_{i=k}^t(-1)^{i-k}C_i^kG(i) \]

\[=\frac 1{k!}\sum_{i=k}^t\frac{(-1)^{i-k}}{(i-k)!}i!G(i) \]

不妨设 \(a_i=\dfrac{(-1)^i}{i!},b_i=i!G(i)\)，则有：

\[k!F(k)=\sum_{i=k}^ta_{i-k}b_i \]

同 快速傅立叶之二 一题，直接 NTT 即可。

时间复杂度 \(O(m\log m+n)\)，不预处理逆元更快。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=4e5+5,p=1004535809;
namespace NTT{
    int rev[N],mx,k,qp;
    struct dft{int fg[N];};
    int qpow(int x,int y){
        int re=1;
        while(y){
            if(y&1) re=re*x%p;
            x=x*x%p,y>>=1;
        }return re;
    }void init(int n){
        n=n*2+1,mx=1,k=0,rev[0]=0;
        while(mx<=n) mx*=2,k++;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
        qp=qpow(mx,p-2);
    }void ntt(dft &a,int fl){
        for(int i=0;i<mx;i++)
            if(i<rev[i]) swap(a.fg[i],a.fg[rev[i]]);
        for(int i=1;i<mx;i*=2){
            int om=qpow(fl?3:(p+1)/3,(p-1)/(i<<1));
            for(int j=0,w=1;j<mx;j+=i*2,w=1)
                for(int k=j;k<j+i;k++,w=w*om%p){
                    int x=a.fg[k],y=w*a.fg[k+i]%p;
                    a.fg[k]=(x+y)%p,a.fg[k+i]=(x-y+p)%p;
                }
        }if(fl) return;
        for(int i=0;i<mx;i++)
            a.fg[i]=a.fg[i]*qp%p;
    }
}using namespace NTT;
int n,m,s,t,w[N],jc[N*25];dft f,g;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>s,init(t=min(n/s,m)),jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=max({m,n,s});i++) jc[i]=jc[i-1]*i%p;
    for(int i=0;i<=m;i++) cin>>w[i];
    for(int i=0;i<=t;i++){
        int h=qpow(jc[n-i*s]*jc[m-i]%p,p-2);
        h=h*jc[m]%p*jc[n]%p*qpow(m-i,n-i*s);
        f.fg[i]=h%p*qpow(jc[s],(i*p-i-i)%(p-1))%p;
        g.fg[t-i]=(i%2?-1:1)*qpow(jc[i],p-2);
    }ntt(f,1),ntt(g,1);
    for(int i=0;i<mx;i++)
        f.fg[i]=f.fg[i]*g.fg[i]%p;
    ntt(f,0);int sum=0;
    for(int i=0;i<=t;i++)
        sum=(sum+w[i]*qpow(jc[i],p-2)%p*f.fg[t+i])%p;
    cout<<sum;
    return 0;
}