一种点到直线距离公式的推法

昨天忽然想到这么一种推法
考虑直线\(l:ax+by+c=0\)
设它上的一个点\((d,e)\),\(d+kv=(d+kb,e-ka),ad+be+c=0\)
\(a(d+kb)+b(e-ka)+c=ad+be+c=0\)在直线上
所以它的一个方向向量为\(v=(b,-a)\)
它的一个法向量为\(s=(a,b)\)
设我们要求\((d,e)\)到直线的距离，\(d+ks\)在直线上
则\((d+ka,e+kb)\)在直线上
\(a(d+ka)+b(e+kb)+c=0\)
因为\(a^2k+b^2k=-ad-be-c,k=\frac{-ad-be-c}{a^2+b^2}\)
容易发现，点到直线距离为\(|\sqrt{a^2+b^2}{k}|\)
把\(k\)的解带入，得到距离是\(|\frac{-ad-be-c}{\sqrt{a^2+b^2}}|=\frac{|ad+be+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)