双连通分量

前置知识

Tarjan入门

定义

对于无向图中的两点 \(u,v\)，若无论删去哪条边都不能使得它们不连通，那么我们称 \(u,v\) 边双连通。

对于无向图中的两点 \(u,v\)，若无论删去哪个点都不能使得它们不连通，那么我们称 \(u,v\) 点双连通。

其中边双连通具有传递性，点双连通不具有传递性。

边双连通

去掉桥，分成的个连通块就是一个个边双连通分量。

直接Tarjan求割点，然后删掉桥就可以得到边双连通分量。

不过一般来说我们不直接删掉桥，而是以每个点开始走dfs，不走割边，然后直接染色即可。

void dfs1(int u,int f){
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
		int v=to[i].v;
		if(!dfn[v]){
			dfs1(v,u);
			low[u]=std::min(low[u],low[v]);
			if(dfn[u]<low[v]){
				to[i].cut=to[i^1].cut=1;
			}
		}else if(v!=f){
			low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}
void dfs2(int u,int f){
	col[u]=Ctot;
	for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
		int v=to[i].v;
		if(v==f or to[i].cut) continue;
		if(col[v]) continue;
		dfs2(v,u);
	}
}

模板

例题

点双连通

不难发现，一个点双连通分量是被一个割点所分开，并且这个割点也在点双连通分量内。我们可以像维护强连通分量一样，将点入栈。我们在检验一个点是否为割点时，记当前点为 \(u\),目标点为 \(v\) ,此时 \(low[v]>=dfn[u]\) , 就直接疯狂弹出栈，直到弹出目标点 \(v\)，把弹出的点全部存入一个点双连通分量，再把 \(u\) 加入点双连通分量即可。

void dfs1(int u,int f){
	dfn[u]=low[u]=++idx;
	sta[++top]=u;
        if(u==f and head[u]==-1){
		++Ctot;
		col[Ctot].push_back(u);
	}
	for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
		int v=to[i].v;
		if(!dfn[v]){
			dfs1(v,u);
			low[u]=std::min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]){
				++Ctot;
				while(1){
					col[Ctot].push_back(sta[top]);
					if(sta[top]==v){
                                                --top;
                                                break;
                                        } 
                                        --top;
				}
				col[Ctot].push_back(u);
			}
		}else if(v!=f){
			low[u]=std::min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
}

例题

参考资料

寒假2019培训：双连通分量（点双+边双）

OI-wiki 双连通分量