容斥原理入门

先给出最为基本的公式

\[\lvert\bigcup_{i=1}^{n}A_i\rvert=\sum_{C\subseteq A}(-1)^{size(C)-1}\lvert\bigcap_{e\in C}e\rvert \]

这个可以看一些小学的具体一点的问题就可以比较好的理解然后推广。严谨证明我们用二项式定理展开，就不多说了。

min-max容斥

两个核心式子

\[min\{max\{a,b\},c\}=max\{min\{a,c\},min\{b,c\}\} \]

\[max\{a,b\}=a+b-min\{a,b\} \]

所以有:

\[ans=max_{i=1}^{n}a_i=\sum_{T\subseteq A}(-1)^{|T|+1}minT \]

可以考虑归纳证明。