李群与李代数》在三维刚体运动（SLAM）中应用的详细讲解-21

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这是一个关于《李群与李代数》在三维刚体运动（SLAM）中应用的详细讲解。根据你提供的课件内容，我将这些知识点整理为逻辑严密的六个部分：动机、基本概念（群与代数）、指数映射、BCH公式与求导、扰动模型以及代码实践。

1. 为什么要引入李群与李代数？（动机）

在做SLAM或机器人状态估计时，我们核心任务是对位姿（旋转和平移）进行估计和优化。

  • 传统方法的局限性：

  • 三维旋转矩阵 必须满足正交且行列式为1的约束（）。

  • 作为优化变量时，这些额外约束会使优化问题变得非常困难（有约束优化通常比无约束优化难解）。

  • 李代数的优势：

  • 李群（如旋转矩阵）没有定义良好的加法，难以求导。

  • 李代数对应于李群单位元处的切空间（Tangent Space）。

  • 在李代数上，我们可以把位姿变为向量形式，进行无约束优化，这对非线性优化（如Gauss-Newton法）至关重要。

2. 基础概念：李群 (Lie Group)

群 (Group) 是一种集合加上一种运算的代数结构。

四大性质： 封闭性、结合律、幺元、逆 。

  • 常见的群：
  • 一般线性群 ： 可逆矩阵。
  • 特殊正交群 ： 即旋转矩阵群。。
  • 特殊欧氏群 ： 即变换矩阵群。包含旋转 和平移 ，。

李群是指具有连续（光滑）性质的群。直观上看，刚体在空间中的运动是连续的，所以 和 都是李群。

3. 核心概念：李代数 (Lie Algebra)

每个李群都有与之对应的李代数，描述了群在单位元附近的局部性质（切空间）。李代数由一个集合 、数域 和二元运算（李括号 [,]）组成。

3.1 ：对应三维旋转

  • 定义： 这是一个三维向量 。

  • 反对称矩阵（Hat Operator ）：
    将向量 映射为一个反对称矩阵 ：

  • 物理意义： 的物理意义就是旋转向量。

3.2 ：对应三维变换

  • 定义： 这是一个六维向量 。

  • ：平移部分（注意：虽然叫平移，但不直接等同于 中的 ，二者差一个线性变换）。

  • ：旋转部分（与 一致）。

  • 扩展的Hat Operator： 在 中， 符号将其映射为 矩阵：

4. 桥梁：指数映射 (Exponential Map)

指数映射建立了李代数（向量/矩阵）到李群（旋转/变换矩阵）的联系。

4.1 SO(3) 的指数映射（罗德里格斯公式）

通过泰勒展开并利用反对称矩阵的性质（），可以得到著名的罗德里格斯公式 (Rodrigues' Formula)：

其中 是旋转角度， 是旋转轴（单位向量）。

  • 反向映射（对数映射）： 给定旋转矩阵 ，也可以求出对应的李代数 （即求转轴和转角）。

4.2 SE(3) 的指数映射

对于六维向量 ，其指数映射为：

  • 注意： 平移部分不是直接相加，而是多了一个**左雅可比矩阵 **。 描述了李代数上的平移分量如何转换到群上的平移分量。

5. 关键难点：求导与扰动模型

我们在优化中需要求导，但李群只有乘法没有加法：。这导致无法直接定义导数。

5.1 BCH 公式 (Baker-Campbell-Hausdorff)

BCH 公式解决了“两个指数映射的乘积等于什么”的问题。
当其中一个量为小量（）时，BCH 提供了线性近似：

这说明：在李群上左乘一个小量，等于在李代数上加上一个“带左雅可比逆”的小量。

5.2 两种求导思路

为了对位姿求导（例如求 ），有两种方法：

  1. 导数模型（不推荐）：
  • 思路：在李代数上直接加一个小量 ，即 。
  • 结果：由于 BCH 公式的存在，结果中会引入复杂的雅可比矩阵 ，计算极其繁琐。
  1. 扰动模型（Perturbation Model，推荐）：

  • 思路：在李群上左乘（或右乘）一个微小扰动 ，令 。

  • 公式推导（左扰动为例）：

  • 最终结果：

  • 优势： 结果非常简洁，避开了复杂的雅可比矩阵 。这也是视觉SLAM中通常使用的方法。

6. 实践：Sophus 库

课件最后介绍了 Sophus 库，这是一个基于 Eigen 的 C++ 库，专门用于处理李群李代数 。

  • 核心功能：

  • 支持 和 的构造与运算。

  • 提供 exp() 和 log() 函数进行群与代数的转换。

  • 支持 hat() (向量转矩阵) 和 vee() (矩阵转向量) 操作。

  • 代码示例要点：

  • Sophus::SO3::exp(phi)：将旋转向量转为旋转矩阵。

  • Sophus::SE3 的构造通常先把旋转和平移定义好，注意平移在前还是旋转在前的约定（Sophus 内部通常是平移在前，旋转在后，但构造函数可能不同，需看具体版本）。

编译： 这是一个 CMake 工程，依赖 Eigen，需要标准的 cmake .. 和 make 流程 。

总结

  • 李群 (Group): 旋转/变换矩阵本身，有约束，难优化。
  • 李代数 (Algebra): 对应的向量形式，无约束，易优化。
  • 映射: 指数映射 () 和对数映射 () 在两者间转换。
  • 求导: 使用左乘扰动模型，将复杂的求导问题转化为简单的矩阵运算（），这是 SLAM 后端优化的数学基础。

下一步建议：
你是否需要我解释一下左扰动模型和右扰动模型的具体区别，或者用一个具体的数学例子（比如推导 的过程）来加深理解？

posted @ 2026-01-09 10:29  jack-chen666  阅读(5)  评论(0)    收藏  举报