旋转是角速度对时间的积分来求解的吗？讲下旋转变换的本质-18

这是一个非常深刻的问题。你的直觉很敏锐，旋转与角速度的关系确实是物理世界与数学表达之间的核心纽带。

我们可以从“运动学”和“几何本质”两个维度来拆解。

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1. 旋转是角速度对时间的积分吗？

答案是：在无穷小的瞬间是，但在有限时间内“不完全是”。

瞬时情况

在极短的时间 内，旋转的改变量确实可以看作角速度 的线性累加。如果我们用李代数 来理解，角速度向量 其实就是李群 在单位原点处的切向量。

有限时间情况（积分的复杂性）

在有限时间 内，如果你直接对角速度向量进行简单积分 ，你会遇到两个大麻烦：

1. 非对易性（Non-commutativity）：三维空间的旋转顺序不可交换。这意味着如果你先绕 X 轴转再绕 Y 轴转，结果不同于反过来。简单的矢量积分忽略了旋转路径上的相互影响。
2. 流形约束：旋转矩阵 必须始终保持正交。

正确的姿态更新（微分方程）

在导航算法（如 IMU 预积分）中，旋转矩阵随时间的变化遵循这个微分方程：

这里的 是角速度的反对称矩阵。求解这个方程的过程，本质上是在李群上做积分。如果你假设 在极短时间内是常数，那么更新公式就是：

这正是你在 Sophus 代码里看到的 exp 操作！

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2. 旋转变换的本质是什么？

旋转变换的本质可以从三个层次来理解：

层次 A：坐标系的保持变换（保持度量）

从几何上看，旋转是线性变换的一种特例。它的本质是：在改变向量方向的同时，绝对保持向量的长度和向量间的夹角。

• 它不改变空间的“原点”。
• 它不改变空间的“比例”。
• 它保持了“右手定则”（行列式为 1）。

层次 B：群论的视角（对称性）

旋转的本质是特殊正交群 。
在数学中，群描述的是对称性。旋转变换意味着：无论你如何转动物体，物体内部的结构（度量约束）是保持对称不变的。旋转矩阵的每一个列向量，本质上是新坐标系的主轴在旧坐标系下的投影。

层次 C：李群与李代数的视角（指数映射）

这是最硬核的本质：旋转是“算子”在切空间上的指数映射。

想象你站在地球（李群）的北极点。

• 角速度：是你出发的方向和速度（李代数，切平面上的向量）。
• 旋转：是你沿着这个方向，在球面上按大圆路径跑出来的终点。

旋转变换的本质，就是把一个平直空间里的“速度（角速度）”通过指数映射，投影到弯曲的“空间（旋转矩阵）”中。

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3. 为什么我们要搞出这么多表示法？

理清了本质，你就明白为什么会有四元数、角轴和矩阵了：

• 角轴：最接近本质。它直接告诉你：“我绕谁转，转了多少”。
• 旋转矩阵：最方便计算。它是一个算子，点乘向量就能得到新坐标。
• 四元数：最利于插值。它是为了解决旋转矩阵冗余和欧拉角奇异性而生的数学技巧，它在四维球面上移动，完美模拟了三维旋转。
• 李代数：最利于求导和优化。它把弯曲的旋转空间“拉平”成向量空间，让我们可以像解方程一样解旋转。

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总结

旋转不仅是角速度的积分，它是在非欧式空间（流形）上的特殊积分。它的本质是保持空间度量不变的一种刚性算子。

既然你理解了旋转的动态演变，想不想看看在实际的 SLAM 或机器人代码中，如何利用 exp 算子把陀螺仪采集到的角速度（）一步步累加成机器人位姿的？