图像生成-概率密度函数的变量变换--06

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概率密度函数的变量变换

这个知识点叫做 ** 概率密度函数的变量变换（Change of Variable for Probability Density Function, PDF），主要用于当你对一个随机变量进行变换后，如何计算新变量的概率密度函数。**

随机变量它有一个已知的概率密度函数。现在我们对它做了一个可逆函数变换：

那么反过来我们也可以写成：
接下来我们希望知道：新的随机变量 𝑥 的概率密度函数 𝑝(𝑥) 是多少？

概率密度的直觉含义是“单位长度（或体积）上的概率”，当我们对变量做变换时，单位长度或体积也会发生缩放或扭曲，因此密度也会相应变化。

变量变换时，概率是不变的，即：

所以，概率密度需要乘上一个雅可比行列式（Jacobian determinant）来修正缩放的影响。

当 𝑧 是一维随机变量

原始变量 𝑧 的密度函数。
表示新变量 𝑥 对应的旧变量 𝑧。
是缩放系数（Jacobian 的绝对值），表示密度如何随着变量的变化被拉伸或压缩。

举例1：
（标准正态分布）
做变换：
求 𝑥 的分布。

反函数为
雅可比项 # 注意带有绝对值符号
其中\(Π\)是标准的正态密度函数

举例2：
标准正态分布
变换函数：
我们希望求出新的变量 𝑥 的概率密度函数 𝑝(𝑥)。

求反函数

反函数为：

求导数+绝对值符号

取绝对值：

套用变量变换公式：

直觉解释:
一个对称的分布
变换会把负数变得更负，正数变得更正，并压缩靠近零的区域，所以密度会变形
新的分布 𝑝(𝑥) 会是非对称的、非高斯的，且在 𝑥=0 处密度特别高