微分几何：度规求导

布里奥斯基公式Brioschi formula：

\[K = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}g_{11,22} + g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11} & \frac{1}{2}g_{11,1} & g_{12,1} - \frac{1}{2}g_{11,2} \\ g_{12,2} - \frac{1}{2}g_{22,1} & g_{11} & g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,2} & g_{12} & g_{22} \end {vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}g_{11,2} & \frac{1}{2}g_{22,1} \\ \frac{1}{2}g_{11,2} & g_{11} & g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,1} & g_{12} & g_{22} \end{vmatrix}}{(g_{11}g_{22} - g_{12}^2)^2} \]

曲率就存在于度规张量的二阶导数中。逗号符号是关键：

• \(g_{11,22}\) 表示 \(g_{11}\) 关于第二个坐标求两次导数。二阶导数。
• \(g_{12,12}\) 表示 \(g_{12}\) 先关于第一个坐标求一次导数，再关于第二个坐标求一次导数。也是二阶导数。
• \(g_{11,1}\) 表示 \(g_{11}\) 关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。
• \(g_{12,1}\) 表示 \(g_{12}\) 关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。

因此，第一个行列式的左上角元素，那个神秘的 \(-\frac{1}{2}g_{11,22} + g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11}\)，完全由二阶导数组成。这是曲率信息所在之处。

而顶行和左列的其余部分包含一阶导数。它们就像……支撑结构。是确保行列式正确平衡所必需的。

而右下角的 \(2\times2\) 子矩阵，那纯粹是度规分量本身。完全没有导数。纯粹的 \(g_{ij}\)。

因此，整个公式具有这样的分层结构：二阶导数位于一角，一阶导数沿边缘分布，度规值位于主体部分。

第二个行列式，即被减去的那个。左上角的元素是 \(0\)。然后顶行有 \(\frac{1}{2}g_{11,2}\) 和 \(\frac{1}{2}g_{22,1}\)。而左列与之完全对应：\(\frac{1}{2}g_{11,2}\) 和 \(\frac{1}{2}g_{22,1}\)。

它在对角线上是对称的。

第一个行列式也有类似的特性，虽非完全对称，但几乎如此。这些元素仿佛正在通过对角线相互对话。

这绝非偶然。度规张量本身就是对称的，\(g_{12} = g_{21}\) 始终成立。这种对称性向上传播，渗透到由它构成的所有结构中。整个公式都继承了这一特性。

站在曲面上的某一点。该点的度规告诉你那里距离是如何运作的，它给你 \(g_{11}\)、\(g_{12}\)、\(g_{22}\)。现在，你在第一个坐标方向上迈出一小步。你到达了一个邻近的点，那里的度量略有不同。\(g_{11}\)发生了一点变化。

\(g_{11,1}\) 只是在问，在这个方向上，每单位步长 \(g_{11}\) 变化了多少？

所以它并不是对曲面本身求导。它是对度规分量求导，观察随着你的移动，这把“尺子”是如何变化的。

这就是为什么曲率需要这些导数。单一点处的度规无法告诉你曲率，一个曲面和一个平面在某一点上可能具有完全相同的度规。必须观察度规在移动过程中的变化。这种变化正是曲率所在之处。