微分几何：宇宙的测地线

宇宙有三个空间维度，我们不是生活在平面上的二维生物，而是生活在弯曲的三维空间内部的三维生物。我们无法走出去观察它，就像蚂蚁无法离开那个球体一样。

至于测地线，那就是光线。光在时空spacetime中的传播路径尽可能笔直。当我们观测遥远的星系时，光线会绕过质量巨大的天体而弯曲。这种弯曲就是曲率。

如果宇宙像球体一样具有正曲率，它就会闭合回自身。沿着某个方向走得足够远，你就会回到起点。

若像马鞍般呈负曲率，它将永远扩张，开放且无限。

若呈平坦状，同样无限，但仅处于微妙的平衡之中。

当前测量结果表明：宇宙非常接近平坦。但我们尚无法确定。

我们就像蚂蚁，只能从内部进行测量。

时间是第四维度，但与其他三个维度并不完全相同。你在空间中可以转身，但在时间中却无法转身。

这种不对称性植根于几何结构之中。在时空中，两个事件之间的“距离”并非按预期的方式计算，时间以相反的符号参与其中。这被称为时空间隔。

而时空中的曲率，就是引力。质量不仅会弯曲空间，也会弯曲时间。在更强的引力场中，时钟走得会更慢。GPS卫星必须对此进行校正，否则每天就会偏移数公里。

球面上的蚂蚁无法直接感知曲率。但我们可以感受到引力。我们一生都在感受着弯曲的时空，却浑然不觉。

这就是高斯Gauss和黎曼Riemann发明新数学的原因。语言已不足以表达。他们需要一种能够精确描述曲率的语言，张量tensors、流形manifolds、度规metric。

我们基于近似概念构建直觉，平坦的地面、笔直的时间，这些直觉在某些情况下行得通，直到它们不再适用。直到你变成一颗GPS卫星，或者一个掠过恒星的光子。

数学不过是描述现实的一种更诚实的语言。