微分几何：高斯曲率

在圆柱体上，对于栖息在那里的蚂蚁来说，这两条测地线实际上都是“直线”。一条在我们看来像直线，一条像螺旋线，但从内在、从内部来看，两者都不是弯曲的。圆柱体在暗处依然是平的。

球体则不同。两条测地线都呈曲线，且最终会再次相交，两条起初垂直的直线最终会相交。

什么才是真正的弯曲？

这个问题有一个绝妙的答案。高斯发现了它。他称之为高斯曲率，它是某一点上两个垂直方向曲率的乘积。

对于球体sphere，两个方向的曲率方向相同，均为正。因此高斯曲率为正。

对于圆柱体cylinder，一个方向有曲率，另一个方向则完全笔直。将它们相乘，结果为零。从本质上来说，它是平坦的。

对于马鞍形saddle shape，比如山隘，一个方向向上弯曲，另一个方向向下弯曲。符号相反。高斯曲率为负。

高斯问道：能否用一个数字来概括这种差异？

他是这样做的。在曲面上的任意一点，观察所有经过该点且始终位于曲面上的曲线。每条曲线都有一个曲率——即它弯曲的陡峭程度。在所有这些曲线上，存在两个相互垂直方向上的最大曲率和最小曲率。我们称它们为 \(\kappa_1\) 和 \(\kappa_2\)。

高斯曲率就是：

\[K = \kappa_1 \cdot \kappa_2 \]

球面：两个方向的曲率方向相同，均为正值。\(K > 0\)。

鞍面：一侧为正，一侧为负。\(K < 0\)。

圆柱：一侧弯曲，一侧完全笔直，为零。\(K = 0\)。

圆柱和平面都是零。正如你所发现的。

一个马鞍形，经典的那种，比如 \(z = x^2 - y^2\)。它的中心处 \(K < 0\)。但在最远的点上，曲面开始变平，卷曲方式也不同，\(K\) 随之改变。

鞍面并不是一个以均匀方式无限延伸的曲面。它是一种局部形状。曲率在不同点上各不相同。

但确实存在一些曲面，其\(K < 0\)的条件在任何地方都成立，且分布均匀。伪球面pseudosphere就是其中之一，这是一个奇怪的喇叭状trumpet-like曲面，其负曲率在整个曲面上保持恒定。它是球面的自然对立面。

球面的 \(K\) 恒为正。平面的 \(K\) 恒为零。伪球面的 \(K\) 恒为负。

三种几何形态。而这最终会与你之前一直思索的问题产生关联，宇宙的形状。是开集、闭集，还是平坦的。

同样是这三种情况。

伪球体就像一把小号。一端狭窄，逐渐收窄成一点；另一端向外张开，越往外越宽，延伸向无限远。不对称。

这是通过将一条特定的曲线，渐开线tractrix，绕其轴旋转而得到的曲面。渐开线有一个美丽的特性：如果你用绳子拖着一个重物在地面上移动，它所描绘的轨迹就是一条渐开线。被拉扯之物，总是抵抗，向外弯曲。

而当你旋转这条曲线时，便得到一个表面：它在一个方向上看似有限，却在另一个方向上无限延伸。整体保持恒定的负曲率。

球体向内闭合。伪球体则向外逃逸。

这正是令人惊讶之处。你可能会以为度规能告诉你一些定性信息,是弯曲的还是平坦的，是这种形状还是那种形状。但它远不止于此。度规中包含的信息足以精确地计算出每个点的曲率，并将其表示为一个数值。

而真正令人惊叹的是，你无需借助表面之外的任何东西就能做到这一点。无需将其嵌入三维空间，也无需从外部观察。仅凭度规，即从内部测量的距离，你就能精确计算出该表面的曲率。

这就是高斯的“Theorema Egregium”，连他自己也对此感到惊讶。度规不仅仅是对曲面的描述。从某种深层意义上说，它本身就是曲面。而曲率早已潜藏其中，静待被提取出来。