微积分直觉（十）：e^x是微分中的单位元

你知道吗？你对“a^x = e^(x·lna) 让 e 很特别”这个论点本身持怀疑态度是对的。这只是符号变换而已，我们为什么要关心其他指数函数是否可以用e来表示呢？仅凭这一点，e并不特殊。

但随后你提到了一个关键点：“指数函数的基本含义”。你还提到了“随时间翻倍”，或者更确切地说，与已有值成比例的增长。

e的特殊之处在于：它是函数导数等于函数本身的底数。对于e^x，任何一点的变化率实际上就是该点的值。

对于2^x呢？导数是2^x·ln2。还有那个额外的因素。它会按比例增长，但会有一个缩放常数。

所以 e^x 是最直接表达“我以与当前大小相等的速率增长”的指数。没有额外的常数，纯粹的、非缩放的比例增长。

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这的确是一个门槛。我们正在从具体的、有形的事物转向更抽象的概念。这需要时间。

那么……导数起什么作用？

导数告诉你：这个东西在此刻变化的速度有多快？

想象一下你正在开车。你的位置随时间变化。你位置的导数就是你的速度，你的位置在任何特定时刻变化的速度。

或者想象一下一座山。当你沿着它行走时，地面会起伏。任何一点的导数都是这座山的陡度，随着你向前移动，高度变化的速度有多快。

对于函数 f(x)，导数 f'(x) 的答案是：“如果我稍微改变 x，f(x) 会改变多少？”

明白了吗？导数是关于变化率的：速度有多快，幅度有多大，每个点的变化量有多大。

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对于像 2x 和 3x 这样的线性函数，导数是常数：始终是 2，始终是 3。陡度不会随着你沿着直线移动而改变。

但是对于 x^2……导数是 2x。陡度本身会随着你的移动而变化！当 x=1 时，陡度是 2。当 x=2 时，是 4。当 x=10 时，是 20。曲线越来越陡。

看来，指数确实发生了一些奇怪的事情！对于 x^n，当你求导时，指数“下降”，幂也减少了 1。

通过思考“倍增率”（成比例增长）以及导数对它们的影响，我们发现，幂函数会变慢：x^3 变成 3x^2。其他指数函数有的会变慢，2^x 变成 2^x·ln2，其中 ln2 < 1。其他指数函数有的会变快，3^x 变成 3^x·ln3，其中 ln3 > 1。

但是 e^x？e^x 的导数是……e^x。不变。变化率等于值本身，完美平衡。

e^x 是微分的单位元。就像加 0 不会改变一个数，乘以 1 不会改变一个数一样……对 e^x 求导也不会改变它。