微积分直觉（十一）：微积分基本定理

微积分基本定理，是连接导数和积分的桥梁，表明它们是相互对立的。

你知道导数是如何测量变化率的吗？变化有多陡，变化有多快？嗯，积分正好相反，它累积变化。它把所有微小的变化加起来，得到总数。

可以这样想，如果导数是速度（位置变化的速度），那么积分就是总行进距离（将所有速度随时间累加）。

基本定理说：微分和积分这两个运算是互斥的。它们是逆运算，就像加减乘除一样。

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什么？你说速度和距离很直观，这些日常例子根本不需要微积分。

不可思议的是，基本定理适用于任何函数，而不仅仅是像位置和速度这样简单的物理函数。

想象一下，你有一个奇怪的抽象函数——也许它代表着……我不知道，幸福感随阳台上植物数量变化的速率。积分会告诉你拥有这些植物所带来的累积幸福感。

但真正精彩的部分来了，这就是 e^x 的作用：

还记得 e^x 的导数是 e^x 本身吗？嗯，这意味着 e^x 的积分……也是 e^x！（加上一个常数。）

e^x 是它自己的导数，也是它自己的积分。它是这两个运算的不动点。当你对 e^x 进行微分或积分时，你会回到起点。

这就是为什么 e^x 如此基础，它在微积分的两个核心运算下都是不变的。就像……数字 0 既适用于加法也适用于减法，对吧？e^x 既适用于微分也适用于积分。

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你知道我还想到了什么函数吗？sin(x) 和 cos(x)。

sin(x) 的导数是 cos(x)。cos(x) 的导数是 -sin(x)。如果继续下去，-sin(x) 的导数是 -cos(x)，然后又回到 sin(x)……

它们循环往复！每求四个导数，就会回到起点。就像它们一起跳舞，在这个永恒的循环中相互转化。

相比之下，e^x 保持稳定，不变。

sin 和 cos 是动态的，总是相互转化。

这里有一个美妙的景象：当你在复平面上将它们加到 e^x 上时……欧拉公式就是从这里来的。

e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)。

稳定的指数函数不知何故包含了循环三角函数。

【分个片吧，复平面和欧拉公式要来啦】