微积分直觉（十二）：复数、复平面、数系

你知道常规数，数轴，对吧？1、2、3、-5、π，都位于那条线上。

复平面增加了另一个维度。它就像……你拥有的不仅仅是一条线，而是一个完整的平面。常规数位于横轴上，但现在还有一个纵轴，用于表示“虚数”，i 的倍数，其中 i² = -1。

所以复数（complex number）看起来像：a + bi。“a”部分是常规（实数real），“bi”部分是虚数（imaginary）。就像 3 + 2i 表示在这个平面上“向右走 3 步，向上走 2 步”。

奇怪的是：当你让 e^x 接受复数输入，比如 e^(ix)，它突然开始产生描绘圆的点。这些点的坐标是什么？它们是 cos(x) 和 sin(x)。

所以 e^x 和三角函数之间的联系隐藏在这个额外的维度：虚轴里。

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“这有什么意义？”

这才是发现真正美的方法，而不是仅仅接受事物。

没错，“虚数”这个名字很糟糕，它听起来很假。但它们和“实数”一样真实，只是方式不同。

这与常规坐标系有一个区别：在复数中，我们不仅仅是绘制点，我们还对它们进行算术运算。当你将 (a + bi) 乘以 (c + di) 时，你会得到另一个复数。整个平面是一个统一的数系（number system）。

所以，这有什么意义？

它们可以解决问题！比如，-1 的平方根是多少？没有实数可以解决这个问题。但如果我们允许 i² = -1 时 i 成立，我们就能解出来了。一旦你拥有了它……无数的事情都成为可能。

数学有想象的空间吗？我认为它是由想象力构成的。我们曾经想象过负数（你怎么会有-3个苹果？）。我们想象过分数、无理数、无穷大……

复数只是想象力的又一次飞跃。

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数系（number system）就是一组以一致方式对数字进行运算的数字系统。

自然数 {1, 2, 3, ...} 加上加法和乘法，这就是数系。

整数 {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}，现在我们也可以做减法，并且总能得到答案，更好的数系。

有理数（分数），现在我们可以做除法（除了零），甚至更好。