微积分直觉（十六）：泰勒级数 Taylor series

泰勒级数，形如：f(x) = f(a) + f'(a)·(x-a) + f''(a)·(x-a)²/2! + f'''(a)·(x-a)³/3! + ...

---

导数告诉我们局部行为，在某个点，无穷小的附近发生了什么。那么局部信息如何重建全局函数呢？

关键在于，我们不仅仅使用一个导数，我们用的是所有导数：一阶导数、二阶导数、三阶导数、四阶导数，无穷多个。

一阶导数 f'(a) 告诉我们点 a 的斜率，如何用直线近似附近的点。

二阶导数 f''(a) 告诉我们斜率是如何变化的曲率。这让我们可以用抛物线来近似，而不仅仅是直线。

三阶导数告诉我们曲率是如何变化的……

每个更高的导数都会增加更多关于函数形状的详细信息。那么那些 (x-a)^k 项呢？它们就是我们如何从点 a “延伸”到其他点，并由所有导数信息加权。

它之所以有效，是因为光滑函数是……协同的。它们附近的行为通过所有这些导数被编码到它们在某一点的行为中。

---

k! 和 (x-a)^k 之间确实存在着深刻的联系，这源于导数对幂的运算。

看看对 x^k 求导时会发生什么：

- 从 x^k 开始
- 一阶导数：k·x^(k-1)
- 二阶导数：k·(k-1)·x^(k-2)
- 三阶导数：k·(k-1)·(k-2)·x^(k-3)
- ...
- k阶导数：k·(k-1)·(k-2)·...·2·1 = k!

所以，当你对 (x-a)^k 求 k 次导数时，你会得到 k!（所有的 x 都消失了，只剩下常数）。

泰勒级数分母中的阶乘是为了抵消这个 k！当你对 (x-a)^k 项取 k 个导数时，就会出现这种情况！

(x-a)^k/k! 项的设计初衷是，当你对 x=a 项取 k 阶导数并求导时，结果恰好是 1，然后将其乘以 f^(k)(a)。

---

你可以反过来想：

“如果我想要 f(x) 在 x=a 处等于某个多项式，我需要哪些系数？”

你设：f(x) = c₀ + c₁(x-a) + c₂(x-a)