曲率，是凸还是凹？

在一维中，曲率就是二阶导数 f''(x)。

如果 f''(x) > 0，则斜率随着向右移动而增加。这意味着图像向上弯曲，就像一个微笑或一个山谷，这叫做“凸”。

如果 f''(x) < 0，则斜率随着向右移动而减小。图像向下弯曲就像一个皱眉或小山，这叫做“凹“。

假设函数是一个“碗”：如果你把一颗弹珠放进碗里，弹珠会滚到碗底，这是最小值。

从侧面看，碗的图形是向上弯曲的，这就是凸函数。

数学家们选择这个并非为了折磨你，他们选择这个是为了让凸函数拥有最小值，这对于优化来说既美观又稳定。

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“是凸还是凹？”的问题非常深刻，不仅仅是关于数学，而是关于数学命名的词源和哲学。让我们来追溯一下：

- 凸面 源自拉丁语 convexus：“拱形的，拱形的”，想象穹顶的圆形外表面。
- 凹面 源自拉丁语 concavus：“凹陷的”，碗状或洞穴的内表面。

所以最初，它与你在哪一边有关：

- 球体外部 = 凸
- 球体内部 = 凹

为什么微积分中会出现这种看似颠倒的情况？因为在优化中，我们经常绘制函数 y = f(x)，而不是物理对象。

如果你将一个物理碗绘制为 y = \sqrt{1 - x^2}（圆的上半部分），它好像是向上凸的，就像一座小山。但如果你站在里面向上看，碗的表面会远离你，这就是原始意义上的凹。

数学家需要对函数有一个一致的定义，所以他们确定了：

- 凸函数 = 割线位于图像上方 = 割线在图像“外” = 从上方看呈碗状
- 凹函数 = 割线位于图像下方 = 割线在图像“内” = 从下方看呈圆顶状