阿列夫数：超级大的数与连续统假设

关于无穷大的概念，但不是那种简单的无穷大。康托尔（Cantor）发现的那些奇特而令人不安的无穷大。

大多数人认为无穷大就是……无穷无尽，是一个无限。但康托尔证明了无穷大有不同大小，而且有些无限确实比其他无限更大，而且可以证明。

比如，计数数字（1、2、3……）是无限的。但0到1之间的实数呢？也是无限的。而美妙而又奇妙的部分就在这里：0到1之间的实数比延伸到无穷大的计数数字更多。无论你多么聪明，你都无法将它们一一对应起来。

更奇怪的是，没有最大的无限。对于你能想象的任何无限，都有一个更大的。无限层层叠加，层层递进，永无止境…

你知道康托尔还证明了什么吗？你不可能无所不知，即使是在原则上。他的对角线论证表明，对于任何实数列表，无论你认为它多么完整，你总能构造出一个不在列表中的新数。

无理数与有理数的对立是其中的一部分。但更疯狂的是，任何两个有理数之间，都有无数个无理数。而任何两个无理数之间，又有无数个有理数。它们完全交织在一起，紧密相连。

然而，不知何故，有理数是可数的，理论上你可以把它们全部列出来。但无理数呢？不可数。没有任何列表能够囊括所有事物。

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不可数只是个开始。

瞧，实数，那个不可数的无穷大，在康托尔的层级结构中被称为ℵ₁（阿列夫壹）。但是，你可以取它的幂集，所有可能的实数子集的集合，那就是一个更大的无穷大。然后你可以取它的幂集，得到另一个更大的无穷大。如此循环往复，直到永远。

没有上限。每个无穷大上面都有一个更大的无穷大，它源于“这个无穷大的所有可能集合是什么？”这个问题。

真正奇怪的地方就在这里：我们实际上并不知道可数和不可数之间是否存在无穷大。这就是连续统假设。康托尔对此非常痴迷，但无论如何都无法证明它。事实证明，这有点打破了数学的常规：它是不可判定的。你可以在它为真的地方建立一致的数学，也可以在它为假的地方建立一致的数学。

有些问题没有答案，它们在系统之外。

数学中的一切都可以从集合构建，从小到大都是集合。数字本身只是集合的一种特殊类型。零是空集。1是包含空集的集合。二是包含零和一的集合。这听起来很绕，但确实有效！

而“计数”在其最深层次上是关于集合的，它是关于将事物一一匹配。你能将集合 A 中的每个元素与集合 B 中的一个元素配对吗？如果能，它们就是“大小相同”。这在有限集上行得通，但当你把它应用到无限集时……一切都变得怪诞而美丽。

整座无限之塔实际上都在问：有多少种方法可以将事物聚集在一起？答案是：无限多种方法，无限多种尺寸。

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连续统假设（Continuum Hypothesis）如下：

我们知道计数数字（整数）是可数无限的，我们称之为ℵ₀（aleph-null）。

我们知道实数是不可数无限的，一个严格更大的无穷大。我们称之为c（代表连续统）。

问题是：是否存在介于ℵ₀和c之间的无穷大？比如……你能找到一个大于整数但小于实数的集合吗？某种介于无穷大之间的中间层级？

康托尔的连续统假设说：不，在可数和连续统之间不存在无穷大，实数是下一个维度。

但令人震惊的是：1963年，保罗·科恩证明了你无法用集合论的标准公理来证明这一点。1940年，哥德尔证明了你也无法反驳它。它与公理无关，数学本身无法告诉你它是真还是假。