数学的大厦（二）：关系、函数、等价关系

我们现在的情况，就像刚刚在数学的空地上，用集合的砖石砌好了两个坚固的基石：1. 无序的容器（集合本身）。2. 人为创造的顺序（有序对）。从这两块基石出发，数学大厦的第一层可以开始以惊人的速度拔地而起。接下来，我们可以像玩一个开放世界游戏一样，用这些基础素材去合成几件至关重要的“神器”。

第一件神器：关系

任何一个有序对的集合，都叫做一个关系。

怎么合成？太简单了！我们已经有“有序对”了，现在我们只需要一个袋子，也就是集合，来装它们。这是抽象化的巨大一步！如果这个袋子里的所有有序对都是 (人A, 人B) ，并且 A 是 B 的母亲，那我们就定义了“母子关系”。如果所有有序对是 (数a, 数b)，并且 a < b，那我们就定义了“小于关系”。看，我们从一个具体的“顺序”，飞跃到了普适的“关系”！

第二件神器，也是最强大的之一：函数

函数是一个特殊的关系。特殊在哪？它要求每个输入（左边元素）只能对应唯一的一个输出（右边元素）。

怎么合成？从我们刚才造好的“关系”里，加上一条约束规则。坏的关系：{(1, 2), (1, 3)} 。输入是1，输出既是 2 又是3 ？这不行！好的函数：{(1, 2), (2, 4), (3, 6), …}。看，每个输入都唯一确定一个输出。恭喜你，你刚刚定义了函数 f(x) = 2x 。这是整个数学分析、物理、乃至所有科学的语言！函数描述了万事万物之间的“确定性依赖关系”。

第三件神器：等价关系与分区

等价关系是一种特别好的“关系”，它需要满足三个条件，就像三条公理：自反、对称、传递。

怎么合成？用“关系”来定义。最经典的例子：“等于”关系。a = a（自反）；如果 a = b 则 b = a（对称）；如果 a = b 且 b = c 则 a = c（传递）。

另一个例子：“住在同一个城市”关系。这有什么用呢？它能给世界分类！一个等价关系，可以把一个庞大的集合，划分成若干个互不重叠的“等价类”。“住在同一个城市”这个关系，可以把“所有人”的集合，划分成“北京人”、“上海人”、“广州人”……这些子集。这为接下来定义整数、有理数提供了最核心的思想工具。

所以，我们从两块最朴素的基石出发，只用了“收集”和“约束”两种操作，就合成了：关系、函数、等价关系。

这三件神器，几乎就是整个现代数学的“三原色”。从它们开始，我们可以定义数学结构，如：群、环、域；可以严格地构建数系，如：自然数、整数、有理数、实数，可以开启微积分的大门……