题解：accoders::NOI 5519 虚树 / P12462 [Ynoi Easy Round 2018] 星野爱久爱海
2023 牛客 OI 赛前集训营-提高组（第一场）D
problem
有一棵 \(n\) 个节点，边权是正整数的树，和一个 \([1, n]\) 的排列 \(p\)。 有 \(Q\) 次询问，每次给出 \(l,r,k\)，你需要回答在 \(p\) 的区间 \([l,r]\) 选 \(k\) 个点，问这 \(k\) 个点构成的虚树的边权和最大和。
\(n\leq 200000,q\leq 10000,k\leq 100\)。强制在线。5s。
solution
考虑如果询问全局怎么做，那么就直接套用 题解 accoders::NOI 5511【漂亮轰炸（bomb）】 的做法，具体来说就是选出直径的一端为根，对树做带权的长链剖分，选出前 \(k-1\) 条长链。
那么对于区间的一个暴力是对区间中的点建虚树，跑上面的算法。
考虑优化，首先有一个结论是两个区间的答案是可以合并的，只需要取两个区间的答案中取到的长链的叶子和根，合并起来建虚树，再做上面的算法，因为其他的链一定取不到了。同时我们只保留前 \(k-1\) 条链。这样一次合并的复杂度可以认为是 \(O(k\log k)\)。
所以我们可以使用线段树维护答案。这样复杂度大概是 \(O(nk\log k+qk\log k\log n)\) 比较爆炸。我们发现这个问题是可以 ST 表的，考虑 ST 表，但是 ST 表的预处理部分复杂度是 \(O(nk\log n\log k)\)。考虑的优化是将每 \(100\) 个点绑在一起进行分块，对 \(2000\) 个块建 ST 表，然后查询时暴力拿出散块，大力合并答案。\(O(\frac{nk\log k\log n}{k}+qk\log k)\) 已经可以通过本题。
code
// ubsan: undefined
// accoders
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cassert>
#include <algorithm>
#include <functional>
using namespace std;
#ifdef LOCAL
#define debug(...) fprintf(stderr, ##__VA_ARGS__)
#else
#define debug(...) void(0)
#endif
typedef long long LL;
typedef long long i64;
int testop, n;
i64 lstans;
inline void decode(int &l, int &r, int &k, i64 lstans, int testop) {
lstans %= 19260817;
if (testop) {
l ^= lstans;
l = (l % n + n) % n + 1;
r ^= lstans;
r = (r % n + n) % n + 1;
if (l > r)
std ::swap(l, r);
k ^= lstans;
k = (k % std ::min(r - l + 1, 100)) + 1;
}
}
template <int N, class T>
struct STable {
T f[21][N + 10];
int lg[N + 10], n;
function<T(T, T)> func;
STable(function<T(T, T)> func) : n(0), func(func) { lg[0] = -1; }
int insert(const T &x) {
f[0][++n] = x, lg[n] = lg[n >> 1] + 1;
for (int j = 1; 1 << j <= n; j++) {
int i = n - (1 << j) + 1;
f[j][i] = func(f[j - 1][i], f[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);
}
return n;
}
T query(int l, int r) {
int k = lg[r - l + 1];
return func(f[k][l], f[k][r - (1 << k) + 1]);
}
};
typedef pair<int, int> pii;
int Q, gPos[1 << 18], dfn[1 << 18], per[1 << 18];
LL gDep[1 << 18];
vector<pair<int, int>> g[1 << 18];
STable<1 << 19, pii> Lca{ [](pii a, pii b) { return min(a, b); } };
void dfs(int u, int fa, int d) {
static int cnt = 0;
dfn[u] = ++cnt;
gPos[u] = Lca.insert({ d, u });
for (auto &&[v, w] : g[u])
if (v != fa) {
gDep[v] = gDep[u] + w;
dfs(v, u, d + 1);
Lca.insert({ d, u });
}
}
int getLca(int u, int v) {
if (gPos[u] > gPos[v])
swap(u, v);
return Lca.query(gPos[u], gPos[v]).second;
}
LL getDist(int u, int v) { return gDep[u] + gDep[v] - 2 * gDep[getLca(u, v)]; }
vector<pair<int, LL>> t[1 << 18];
void buildVTree(vector<int> h) {
static int vis[1 << 18], tim = 0, stk[1 << 18];
if (h.empty())
return;
++tim;
sort(h.begin(), h.end(), [&](int u, int v) { return dfn[u] < dfn[v]; });
bool flag = 0;
if (h[0] != 1)
h.insert(h.begin(), 1);
else
flag = 1;
h.erase(unique(h.begin(), h.end()), h.end());
auto link = [&](int u, int v) {
if (vis[u] < tim)
vis[u] = tim, t[u].clear();
if (vis[v] < tim)
vis[v] = tim, t[v].clear();
t[u].emplace_back(v, getDist(u, v));
t[v].emplace_back(u, getDist(u, v));
};
int top = 0;
stk[++top] = h[0];
for (int i = 1; i < h.size(); i++) {
int k = getLca(stk[top], h[i]);
if (k != stk[top]) {
while (top >= 2 && dfn[stk[top - 1]] > dfn[k]) link(stk[top - 1], stk[top]), --top;
if (stk[top - 1] == k)
link(stk[top], k), --top;
else
link(stk[top], k), stk[top] = k;
}
stk[++top] = h[i];
}
while (top >= 3) link(stk[top - 1], stk[top]), --top;
if (top >= 2 && (flag || vis[1] == tim))
link(stk[top - 1], stk[top]);
}
pair<vector<pair<LL, int>>, int> calcChain(vector<int> a) {
if (a.empty())
return {};
static LL hei[1 << 18];
static int down[1 << 18], son[1 << 18];
buildVTree(a);
function<pair<LL, int>(int, int, LL)> dfs1 = [&](int u, int fa, LL d) {
pair<LL, int> ret = { d, u };
for (auto &&[v, w] : t[u])
if (v != fa) {
ret = max(ret, dfs1(v, u, d + w));
}
return ret;
};
int root = dfs1(a[0], 0, 0).second;
hei[0] = -1e18;
vector<pair<LL, int>> vec = {};
function<void(int, int)> dfs2 = [&](int u, int fa) {
down[u] = u, hei[u] = son[u] = 0;
for (auto &&[v, w] : t[u])
if (v != fa) {
dfs2(v, u);
if (hei[v] + w > hei[u])
hei[u] = hei[son[u] = v] + w, down[u] = down[v];
}
for (auto &&[v, w] : t[u])
if (v != fa) {
if (v != son[u])
vec.emplace_back(hei[v] + w, down[v]);
}
};
dfs2(root, 0);
vec.emplace_back(hei[root], down[root]);
sort(vec.begin(), vec.end(), greater<pair<LL, int>>{});
vec.resize(min(int(vec.size()), 100));
return { vec, root };
}
STable<2010, vector<int>> T{ [](vector<int> a, vector<int> b) {
for (int x : b) a.push_back(x);
auto [ret, root] = calcChain(a);
vector<int> res = { root };
for (int i = 0; i < min(int(ret.size()), 100); i++) res.push_back(ret[i].second);
return res;
} };
int bel[1 << 18];
int main() {
#ifndef nfio
freopen("nomenclature.in", "r", stdin);
freopen("nomenclature.out", "w", stdout);
#endif
scanf("%*d%d%d", &testop, &n);
for (int i = 1, u, v, w; i < n; i++) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
g[u].emplace_back(v, w);
g[v].emplace_back(u, w);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &per[i]);
// for (int i = 1; i <= n; i++) bel[i] = (i - 1) / 100 + 1;
// for (int i = 1; i <= n; i++) bel[i] = 1;
dfs(1, 0, 1);
for (int L = 1; L <= n; L += 100) {
int R = min(L + 100 - 1, n);
int b = T.insert(vector<int>(per + L, per + R + 1));
for (int i = L; i <= R; i++) bel[i] = b;
}
scanf("%d", &Q);
for (int L, R, k; Q--;) {
scanf("%d%d%d", &L, &R, &k);
decode(L, R, k, lstans, testop);
// vector<pair<LL, int>> ret = calcChain(vector<int>(per + l, per + r + 1)).first;
vector<int> small = {};
int Lb = bel[L], Rb = bel[R];
while (L <= R && bel[L] == Lb) small.push_back(per[L++]);
while (L <= R && bel[R] == Rb) small.push_back(per[R--]);
if (Lb + 1 <= Rb - 1) {
vector<int> res = T.query(Lb + 1, Rb - 1);
for (int x : res) small.push_back(x);
}
vector<pair<LL, int>> ret = calcChain(small).first;
LL ans = 0;
for (int i = 0; i < min(k - 1, int(ret.size())); i++) ans += ret[i].first;
printf("%lld\n", lstans = ans);
}
return 0;
}
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