2025.11 模拟赛日志

2025.11 模拟赛日志

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• 2025.11 模拟赛日志
  • CSP-S 2025
  • 25noip二十连测day13（20251103）
  • 25noip二十连测day14（20251104）
  • 25noip二十连测day15（20251105）
  • 25noip二十连测day16（20251106）
  • 25noip二十连测day17（20251110）
  • 25noip二十连测day18（20251111）
  • 25noip二十连测day19（20251112）
  • 25noip二十连测day20（20251113）

CSP-S 2025

游记 CSP-S2025 - caijianhong - 博客园

25noip二十连测day13（20251103）

• [A 相等] 质因数分解
• [B 匹配] 边匹配模板
• [C 占卜] 观察结构后直接 DP
• [D 追忆] 枚举倍数分治，莫队，分块

\(100+100+100+52=352\)，第四题写错了一个东西导致少了 \(10\) 分，但是又额外过了一个子任务多了 \(10\) 分，也是逆天数据。

第一题，转化为判断所有数乘积是否是完全平方数。值域小时，可以对每个质因子进行 Xor-Hash，做线性筛，复杂度 \(O(n+V)\)。

第二题，转化为给定一张无向图，两条边匹配当且仅当边有公共端点，问是否有完美匹配？这个不要想复杂了，首先连通块内有奇数条边肯定无解。然后是树的情况，树一定有解，从而所有无向图都有解，所以有完美匹配当且仅当每个连通块边数为偶数。

第三题，把向左循环移位看成选择一个数丢到序列的末尾，这样立即就能发现结构，直接 DP。

第四题，不会啊，先写暴力，怎么过不了第二个大样例，然后发现是读错题了（王马瑞！你的题面怎么既比形式化题面少东西，又比形式化题面多东西？这是互文的修辞手法吗？NMSL）。调一下，笑死了，暴力过了八个大样例，大样例唐到极致。前面做第二题做慢了，不够时间，写了个回滚莫队过掉 \(k=1\) 和 \(k\geq 400\)，比赛就结束了。

这个第四题，额，它就是，\(k\leq B\) 的部分跑 \(B\) 轮莫队，\(k>B\) 的一起跑莫队。然后也不用回滚，因为是要维护单点 \(\pm1\)，区间最小值，这个直接序列分块，每一块内维护 \(cnt_x\) 表示有多少个值为 \(x\)，这样修改某个值的时候，观察它新的 \(cnt\)，可以知道最小值是否应该发生变动，变动是严格 \(O(1)\) 的。最后平衡出来的复杂度是 \(O(n^{5/3})\)，也是逆天。回滚不是写不了，是常数有点大。

25noip二十连测day14（20251104）

• [A 排序] 反向构造（？），贪心
• [B 变换] 枚举计算，递推
• [C 游戏] 博弈，结论题，bitset 优化背包
• *[D 子串 / CF1292E 加强版] 逆天卡常交互

\(100+100+40(44)+40.18=280.18(284.18)\)。

第一题，猜了个刻画最终答案的结论，然后说如果这个答案不合法就输出无解，一测，大样例全过了，不管了。

第二题比第一题好想，直接做就行了啊，连凸包的性质都不需要。

第四题应该是做过了，但是到这里是加强了还是怎么回事？我决定先写第四题，因为第三题看着就不好想。\(k=1\) 的子任务突发奇想就过了（并非突发奇想）。\(k=2\) 想了很久也不太会，没那么简单，写了个劣做法。\(k=3\) 更是不敢想。原题的最后一步是暴搜决策树。我决定先写第三题。

第三题写一个暴搜，怎么直接有 \(44\) 分？结论好像不是很显然，下一档部分分要把结论做出来。决定不做，回去写第四题的暴搜决策树，搜不出来，但是可以手动迭代加深。怎么真的搜出来了？然后研究了一下怎么输出决策方案，研究出来了，决策很少，但是能不能再少一点啊，尝试直接钦定每一步的策略，发现策略成线性的了，逆天。写一下，过不了，为什么？没时间了，倒闭。

所以为什么第四题过不了呢？1. 我搜索的是 \(n=4\) 的，没搜 \(n=5\) 的，虽然是说我原来的代码可以直接过 \(n\geq 5\) 的，但是算错了，以为是 \(n\geq 6\) 才能过。2. 决策没写全，它这个代码的逻辑，当可以直接暴力的时候是直接暴力，但是忘了，也正因如此，看起来决策是线性的，实际上是因为有分支出去之后就被暴力截断了。搞完之后直接就 \(60\) 分通过 \(k\leq 2\) 了，勉强上 \(300\) 分，还是有点唐。这个第四题，害人不浅啊，做了特别久，代码特别乱，乱到自己干了什么都不知道，下次记得封装到 namespace 里面！

第三题的结论出人意料的简单啊。怎么想到这个结论呢？！

25noip二十连测day15（20251105）

• [A 老板] 合法区间计数，前缀和，哈希表（探测法比拉链法快）
• [B 牛马] 高维 DP 计数
• [C 亚军] 组合数学计数
• *[D 毒瘤] 回文串相关计数，拆分计算类型，调和级数打分界点计算 LCS 和 LCP 进行计数

\(100+80+100+20(10)=300(290)\)。

第一题，很快就看出来怎么做，但是卡在 1e7 哈希表上了。最后没写哈希表，而是发现了值域小，写了计数排序，做的时间挺久的。

第二题不会啊！

第三题一眼会了 \(O(n^2)\) 怎么做，就是 LIS 和 LDS 一定在中点相交，然后两边就是独立的。可以直接 DP 两边。优化也很简单，用组合数乘一下跳过任意选的转移，不是任意的转移只有 \(O(1)\) 个地方有新值。

第二题不会啊！想到很多 \(O(n^4)\) 往上的做法。

第四题写了个 \(10\) 分暴力，因为 \(20\) 分太难写了，还不如写第二题的 \(m=0\)。这时可能犯了一个错误就是死磕第二题，一直往一个方向做。好在最后一个小时发现可以把操作倒过来，这样写出来的 \(O(n^3)\) 代码比较简单，获得 \(70\) 分，随手再写掉另外 \(10\) 分，剩下一个卷组合数的瓶颈，不会做。题解是通过修改状态定义和重新确定权值以杀掉这个组合数瓶颈，感觉还是有点神奇的。什么叫修改状态定义呢？就是原本记录哪些点被用过，不含空点；现在记录哪些点被覆盖过，空点会被一起覆盖掉，我们最后再规定 \(f_{0,i}=1\) 就行。然后因为有空点的存在，因此我们的覆盖方案数也要做出相应的调整，幸运的是这只是一个二项式定理，形式很简洁，于是就能回避掉最后“由用过的点转移到总点数”的这个组合数卷积。

第四题好难啊。它处理性质三的时候要用到看起来已经被抛弃的性质二，然后证明了翻转子串的右端点是中点或者右端点右一个字符是中点，于是只有有限种翻转模式。再证明同一种模式的方案是唯一的（运用回文和重复串的定义），以及除了一个特殊情况外一个串只能匹配一种模式。然后用《优秀的拆分》的技巧，调和级数枚举，打分界点，计算相邻分界点之间的 LCS 和 LCP，从而计算在这种模式下的拆分方案数。同时再证明一下拆分方案数是 \(O(1)\) 的。总的来说还是很复杂的，场上也没人过。

25noip二十连测day16（20251106）

• [A Persistent] 离线操作树解决可持久化
• [B Mode] 01 分数规划，贪心
• *[C Tree] 构造，树形图最小链覆盖
• *[D Sequence] 数位 DP，meet in the middle

\(100+100+20+60=280\)。

第一题就是一眼题，就是有点难写。有点蠢，拿线段树维护了，写了好一会。第二题就是先贪心，然后二分、0/1 分数规划，呃，就很显然，然后也没有什么线性做法。第四题见过类似的形式，写完部分分就跑了。第三题不会做。感觉很倒闭。

25noip二十连测day17（20251110）

• [A 笋与横着] 简单思维题
• [B 别笑，你也过不了第二关] 诈骗计数题，树形背包，没那么难
• [C 流逝的时间没能淡去对优秀率的记忆] 贪心，反悔贪心
• [D 建立起与你之间的桥梁] 找出结构性质，数据结构维护

\(100+100+0+36=236\)（没交）。我要睡觉。

第三题就是一个反悔贪心，按照反悔贪心去理解就没错了。

第四题最后的解法很直观，就是题解写的有点混乱。最终的解法：

• 定义 \(R_i\) 表示假如答案是 YES，那么 \(\geq i\) 的数作为什么区间出现。如果所有 \(R_i\supseteq R_{i+1}\)，那么答案是 YES。如果值 \(y\) 不存在，忽略 \(R_y\)，结论仍然正确。
• 如果值 \(y\) 存在，令 \(a_x=y\)，则 \(x\) 是 \(R_y\) 的一个端点，怎么知道是左端点还是右端点呢？如果值 \(n\) 存在，那么 \(y\) 在值 \(n\) 左边，区间就是 \([x,x+n-y]\)，否则 \([x-n+y,x]\)。把这些区间全部写出来，判断是否互相包含即可（所有区间按照左端点排序后，观察是否右端点组成的序列不升，注意相同左端点的一些处理）。
• 如果值 \(n\) 不存在，会麻烦一点。我们只能通过 \(a_x\) 的前驱后继（就是上一个或下一个不为零的位置）来判断它的方向。有四种情况：一种是不合法；两种是单调的，可以确定它的方向；一种是尝试作为全局最大值，如果全局最大值不唯一就是 NO，否则还要做处理，枚举真正的值 \(n\) 在全局最大值哪一边，这样确定全局最大值的区间方向，另外我们可以调整使得值 \(n\) 恰好紧挨着全局最大值，由此值 \(n\) 的区间是不重要的。
• 注意每次插入删除都要把前驱后继的情况全部改判。复杂度是非常大的 \(O(n\log n)\)。

25noip二十连测day18（20251111）

• [A Little09！] 每日排序题
• [B 流逝的时间没有淡去我对你的记忆] 区间 DP，但是要想一下记录什么东西
• [C 你还记得几年前] 优化搜索
• [D 我第一次见到你的时候] 中位数的有关计数

\(100+100+87+73=360\)。这个第二题做法还和题解不一样。第三题这个搜索感觉很神秘。第四题想到了，但是我以为优先队列 + 树状数组的 \(O(n\log n)\) 过不了 \(2\times 10^6\) 的三秒。感觉就是有一个基准，\(1\times 10^6\) 能过 \(O(n\log n)\) 的一秒，那么数据范围和时限都翻倍也能过。

25noip二十连测day19（20251112）

• [A 杀蚂蚁] 简单树形贪心
• [B 子串图] 简单减法计数
• [C 随机数生成器] 矩阵快速幂，优化矩阵大小
• [D 分蛋糕] 折半，二维数点

\(100+100+100+48=348\)。这个第四题不会做有点问号了。

第一题一开始想简单了，不过什么事也没有。

第二题想的过程中想到错的地方了，以为很难，不过很快纠正过来了。之后写完代码之后发现过不了样例二，又修复了一下做法就过了。到这里应该是消耗了一小时十分钟，非常快。

第三题跳一下，第四题 48 分暴力非常好写。第三题没想到什么阳间做法，先写了一个关于 \(n\) 线性的暴力。盲猜是线性递推，并决定枚举长度 \(s\) 并高斯消元解出线性递推式。然后是成功了，递推式很短。然后要卡常？观察了一下，发现这个线性递推式的长度是有规律的，这样就不用枚举长度（实际上，也不需要枚举长度，直接倍增确定 \(s\) 更好，复杂度不会多一个 \(s\)）。然后构造了一个 \(s=160\) 的测一下，感觉差不多能过。这个时候比赛快结束了。

第四题想随机化看看能不能有希望，写了很久，根本过不去，自闭了。

这个第三题做到最后，复杂度和题解是一样的。就是说正常做法是优化 DP 的状态数，把矩阵快速幂的矩阵大小压下去。具体的方法可以通过看 \(s=\prod_c (cnt[c]+1)\) 猜出来。

第四题竟然是直接的折半搜索和二维偏序。就是钦定一下大小关系就可以合并。欸？怎么没想过这条路线啊？

25noip二十连测day20（20251113）

• [A 接力] 神秘简洁构造
• [B 遥远的距离] 诈骗题
• [C 母鸡卡] 调整法，线性 DP
• [D 讲不出再见] 线段树分治 + 可撤销并查集，维护

\(100+100+24+55(40)=279(264)\)。坠机啊。第四题 Subtask 5 的数据逆天，完全错的算法都能过。

第一题想了挺久的，后来意识到要打表就打了个表过掉了。

第二题突发奇想把图画出来之后就发现这是个诈骗题。大样例直接过了，没管复杂度，感觉是根号以下。

第四题的暴力写了一下。第三题的暴力写了一下。决定做第四题。经过非常久之后大概知道了它的结构，但是我不会维护。这里主要的问题是我的算法是“点本位”的，所有操作围绕点进行，加点、删点、查询连通块点权最大值、更新点权，这里“更新点权”这个操作让我的线段树分治写出来之后做不出来。题解的做法是“边本位”的，考虑的是往图里面加入边，沿着边进行转移，这样操作就可以撤销，用可撤销并查集。这也像是找出“更新点权”这个操作的影响时间范围，然后拆到线段树分治上去做。

第三题题解做法怎么这么轻松就完成了？感觉战犯。有几个问题是当时没想清楚的。1. 如果两边 1 的个数相等且 \(Y>10^{18}\)，那么我们可以直接取出所有 1 的位置，然后匹配。这个过程也有一个等价的想法，就是令 \(f_i\) 表示已经将 \([1,i]\) 位置上的 1 匹配完了，然后转移是找到最大的 \(j<i\) 满足 \((j,i]\) 中两边 1 的数量相等，此时所有 1 的匹配都是一个方向的（否则 \(j\) 不是最大的），这样就可以直接前缀和计算这一段 \(\sum_{k=j+1}^i(a_k-b_k)k\) 的和，取个绝对值就是交换次数。这个做法有利于扩展，包括这道题。这道题就是发现一条匹配不会经过一个取反的位置，否则一定不优，所以做法和刚才的相比加上取反 \(i\) 的操作就行了。感觉结构很好，做法很优美。

黄队太强了。