2025.10 模拟赛日志

2025.10 模拟赛日志

目录

• 2025.10 模拟赛日志
  • 25十一集训讲课 1：数据结构（20251001）
  • 25十一集训讲课 2：数论（20251002）
  • 25十一集训day1（20251003）
  • 25十一集训讲课 3：DP（20251004）
  • 25十一集训讲课 4：图论（20251005）
  • 2025/10/07NOIP模拟赛（20251007）
  • 2025/10/08NOIP 模拟赛（20251008）
  • 20251010 杂题选讲（20251010）
  • 2025/10/11NOIP模拟赛（20251011）
  • The 4th Universal Cup. Stage 2: Grand Prix of Paris（20251011）
  • 25noip十连测day5（20251012）
  • 25noip二十连测day1（20251013）
  • 25noip二十连测day2（20251014）
  • 25noip二十连测day3（20251015）
  • 25noip二十连测day4（20251016）
  • 2025/10/18NOIP模拟赛（20251018）
  • 25noip二十连测day5（20251020）
  • 25noip二十连测day6（20251021）
  • 25noip二十连测day7（20251022）
  • 25noip二十连测day8（20251023）
  • The 4th Universal Cup. Stage 3: Polar Grand Prix
  • 2025/10/25NOIP模拟赛（20251025）
  • 25noip二十连测day9（20251027）
  • 25noip二十连测day10（20251028）
  • 25noip二十连测day11（20251029）
  • 25noip二十连测day12（20251030）

25十一集训讲课 1：数据结构（20251001）

数据结构-黄洛天（线段树、分治、树分治、分块）

25十一集训讲课 2：数论（20251002）

数论-黄建恒（组合数学、期望与概率、生成函数、dp 杂题）

25十一集训day1（20251003）

• [A 签到题] 签到题
• [B 图论题] 二分答案，树，贪心
• [C 计数题] 线性 dp 优化（纯粹的技巧）
• *[D 博弈题] 贪心，邻项交换法（真的叫这个名字吗？），数据结构维护。

第四题是 QOJ5092 森林游戏 的加强版。

\(100+100+100+25(15)=325(315)\)。竟然上分了。第一题很简单。第二题很简单，这个贪心我见过了。第三题卡了一会，想优化的过程可能有一点慢，不清楚。第四题因为先后手的顺序，没想到怎么处理缩成两个点的块，后面就全炸了。

25十一集训讲课 3：DP（20251004）

DP-黄建恒

25十一集训讲课 4：图论（20251005）

图论-赵晟昊

2025/10/07NOIP模拟赛（20251007）

• *[A 大数定理]
• *[B 中心极限定理]
• *[C 散步]
• *[D 买宝石]

\(0+0+60(100)+0=60(100)\)。

2025/10/08NOIP 模拟赛（20251008）

• [A 考试] 枚举绝对值符号
• [B 围棋] 连通性
• [C 互相抵消] 拆式子，线段树维护
• [D 串串] 容斥，第二类斯特林数

\(100+100+100+10=310\)。前两题挺好写。第三题，也还好算，搞了个 \(3\times 3\) 矩阵上线段树维护，一测发现被卡常。这个时候正确的做法应该是把其它几个 \(n\) 顶到上界的部分分强行写掉。但是我没有这么干，直接不管了。最后线下评测也是成功挂了 5 分。赛后发现矩阵搞大了，有些东西会被抵消，从而只需要维护 \(2\times 2\) 矩阵（符合题目名称）。第四题很明显的二项式反演容斥，然后轻轻推了一下。然后忘了容斥完之后可以无视限制了。没想出来。赛后继续做，卡在 \(O(n^3)\) 做法动不了。看了题解，先容斥 01 再容斥 1 可以做，先容斥 0 再容斥 1 就不知道怎么做（需要第二类斯特林数的生成函数？），很神奇啊。

20251010 杂题选讲（20251010）

剩余：H

自己做出来的：ABCDEFGIJ（我也太牛了）

2025/10/11NOIP模拟赛（20251011）

• A 询问 数学、矩阵加速递推
• B k-绍兴序列 组合计数、前缀和优化 dp
• C 二次根式 数论、分块打表
• D 浙江旅行团 可持久化数据结构、树上倍增

我就是出题人。前三题太简单了，第四题太难了，搞出了二十几个“过了前三题后什么也不会”的人。要加大难度了。

The 4th Universal Cup. Stage 2: Grand Prix of Paris（20251011）

发挥不完全。大概就是把签到题过完了，难一点的题目全部没做。有几道题一直卡着，罚时拉满了（都不是我写的）。感觉还没开始就结束了。

另外：有人说可以看一下上一场 ucup 的题目：

• https://contest.ucup.ac/contest/2539/problem/14426
• https://contest.ucup.ac/contest/2539/problem/14432

25noip十连测day5（20251012）

• [A MoCo] 签到题
• [B DINO] 树、MEX、暴力状压
• [C SimCLR] 树形 DP、树形背包、换根退背包
• *[D JEPA] 提交答案，Lambda 演算

\(100+100+30+0=230\)。第一题搞笑的。第二题想了一下终于发现 MEX 不超过 \(O(\log n)\)，那应该是怎么做都对。第三题没有想到可以换根把父亲的影响忽略，搞笑了。第四题不可做。

也没有很认真地打，但还是写一下复盘。第一题纯搞笑，为后面的非人类题做铺垫。

第二题，比赛开始的时候题面还写错了，等了一段时间。一开始因为刚刚做了 AGC043C Giant Graph 所以错误地认为 MEX 不超过 \(O(\sqrt n)\)，想着那这不是做完了就准备整理思路开始写。然后发现合并不了，只会状压合并，感觉倒闭了。读了一下后面的题决定继续做这个题。摆了很久之后终于发现一个问题，就是这个 MEX 没有那么大；隔壁 AGC043C 的根号是因为它是 DAG，可这题是树啊，而且是所有儿子的 MEX。算了一下发现 MEX 不能超过 \(O(\log n)\)，那就是直接状压就结束了。复杂度不会算，不算了。感觉需要把运算次数卡一下，卡完应该就是对的了。做了一堆优化，感觉应该差不多了，应该能过了。

第三题，这是什么东西？两个简单的特殊性质和小暴力写完，不知道下一步怎么做了。这里的问题是，一个点会被父亲影响，使它被染色，所以树形 DP 有可能要记录父亲的状态。

看了题解，发现这里我忘了两个事情，就是 1. 每个点的贡献是独立的；2. 如果这个点需要父亲的支持，那么它只会继续往下传，不会对父亲那边产生影响。这样还是太难绷，我们只要指定每个点分别为根就没有父亲的影响了，这个事情根本没有发现，整个题倒闭了。

后面就是树形背包换根，发现需要做树形背包的点只有 \(O(n/k)\) 个所以复杂度 \(O(n+(n/k)k)=O(n)\)。树形背包撤销需要的逆元依赖于每个点只考虑子树的 DP 值，应该是可以一开始就一起求出来。另外这题可以把方案数换成概率，写起来爽一点。

第四题是非人类题。我觉得还是不要做了。

25noip二十连测day1（20251013）

• [A 宝宝会算术] 向上取整、向下取整的性质
• [B 宝宝玩游戏] 大构造
• [C 宝宝拼字母] 字符串，Trie，枚举，数据结构
• [D 宝宝选东西 / LOJ3039] 决策单调性，删除链表维护前 \(k\) 大值。

\(100+10+0+50=160\)。这场最难受的就是一直在做 T2，没换题。赛后调出来，其实也差不多了。

第三题，有一个难绷的东西忘了。在 Trie 树上，每个点子树中所有叶子个数就是字符串总长度。笑死我了。我还以为这个东西需要额外一维偏序，看到 \(10^6\) 就直接炸了。另外更难绷的是，直接写 \(O(n^2)\) 的算法，可以获得 \(60\) 到 \(80\) 分不等，主要是因为数据太难造，不会浪费在那种 \(10^6\) 个 A 的数据，所以 \(n\) 会十分小，可以草过去特殊性质甚至 \(10^5\)。莫名其妙。

第四题，根本想不到决策单调性啊。这里有一个想法是，这题的贡献函数是一个满足四边形不等式的函数（注意：不是凸的。）加上分别关于左右端点的任意函数。四边形不等式不关注分别关于左右端点的任意函数是什么，因为它们会被抵消。所以剩下的就满足四边形不等式，所以有决策单调性。后面就是分治决策单调性，莫队思想维护一个一直删除的带撤销链表求出区间前 \(k\) 大值的和。

25noip二十连测day2（20251014）

• [A 小学算术] 简单数学
• [B 马戏表演] 数学
• [C 拯救世界] Slope Trick
• [D 环上游戏] 维护最大权匹配

\(100+24(100)+36+52=212(288)\)。第二题写挂是最大的失误。第三题有一个很容易的优化没写，写了这个优化多 \(16\) 分。我确实应该回顾一下以前做过的题目了。

第一题，很签到，15 分钟（8:45:29，含读题）。第二题，写对式子之后，想了一下，把组合数拆掉之后，就发现了较小的那一边一定是 \(1\)，所以可以前后缀和转移。感觉很简单，确实是一个 T2 的难度！总花费 55 分钟（9:37:58）。然后为什么这个第二题挂掉了呢？因为求 \(j(i-j+1)\) 的最大值的时候 \(j\) 不小心取了 \(\left\lfloor i/2\right\rfloor\)，而应该是 \(\left\lceil i/2\right\rceil\)。这很搞笑，一个长度为 \(n\) 的序列的中点应该是 \(n/2\) 向上取整。后来想了一下，这题如果对拍的话就可能可以发现了。实际上也确实，本来就应该有这个动作，因为前一个结论我是猜的，应该要暴力验证。

第四题，先做了第四题，因为我做过这个模型。结果花费了很长时间才回想起来一个关键的中间结论（前 \(2i\) 个数字最多选 \(i\) 个 \(\iff\) 后 \(n-2i\) 个数字最少选 \(\left\lceil n/2\right\rceil - i\) 个）。后面继续做的时候想假了，最后还是没做出来。\(a_i\leq 2\) 的部分分没时间写。

第三题，卡第四题的时候顺手写了。我都不知道为什么这题可以从 \(O(nk^2)\) 直接飞到 \(\tilde O(n+k)\)。可能是预设难度了，直接跳过了，根本就忘了“绝对值函数是凸函数”还有紧随起来的 Slope Trick 的事。

总的来说，打的还是不太满意。

25noip二十连测day3（20251015）

• [A 哈基米哟南北绿豆] 二进制、函数、数学、构造
• [B 阿西噶啊纳哈呀鲁 / QOJ10908] 简单的背包
• [C 欧马吉利叮咚鸡 / QOJ37] 数学，矩阵快速幂
• *[D 叮咚叮咚哈基米 / QOJ887] 二次函数最优化

第一题原题来自：ISIJ Cup 2021

\(100+100+100+30=330\)。爽！

第一题卡了一个小时。但我觉得如果就这样跳了这个题，下次再来可能就做不出来了（感觉就是这样，被跳的题目难度自动加一档）。尝试构造了一下 \([x=0]\) 函数，果然构造不出来，发现问题是没有右移，进一步发现所有操作都是低位影响高位，没有高位影响低位的。所以就可以猜到结论了。

第二题，这个题怎么放到第二题的？这应该和第一题换一下。随便写就行了。

第三题，我看了一下，可能第三题好做一点，先做第三题。感受到应该是可以写成递推的形式，大概率是线性递推，只要把要用的东西列出来就行了。推了一下，感觉十分痛苦。有一个事情可以方便式子的化简，就是将 \(\sum_x f(x)\) 改成 \(E[f(x)]\)，求和改成期望，这样就会少一个变量，防止平方项出现。只需要想清楚就差不多了。然后还有一个事情是 \(E[x]=\sum_{i=1}^np_ix_i\) 与 \(E[y]=\sum_{j=1}^mq_jy_j\) 合并成 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mp_iq_j(x_i+y_j)\) 的时候，应该是 \(E[x]\sum_{j=1}^mq_j+E[y]\sum_{i=1}^np_i\)，不需要把 \(E[x]E[y]\) 乘起来。大概就是这样，写完一遍过了。

第四题，\(a_i\leq 0\) 的情况很像一个 Slope Trick 的形式，因为时间好像不太够（？）所以写了 30 分没写到 60 分。后面完全没有思路。这个题其实可以是一种二次函数最优化的模型，可以根据导函数进行调整，使得所有没有被卡住的二次函数的导函数都相等。后面暂时想不清楚。

已严肃学习：哈基米山歌这一块_哔哩哔哩_bilibili。

第四题后面的部分，可能看懂了。我们已经知道

1. 我们枚举了一个 \(a_i>0\) 的函数，剩下的 \(a_i>0\) 的函数都 \(x_i\in \{0, t_i\}\)，使用 \(2^{K-1}\) 枚举剩下的。
2. \(x_i\not \in\{0,t_i\}\) 的函数，它们的 \(f_i'(x_i)\) 都是一样的（设为 \(D\)）。
3. \(x_i=0\) 的函数，它们的 \(f_i'(x_i)\leq D\)。
4. \(x_i=t_i\) 的函数，它们的 \(f_i'(x_i)\geq D\)。

对于一个固定的 \(D\)，每个函数取什么值是固定的，可以计算 \(\sum x_i\)，则 \(h(D)=\sum x_i\) 这个函数是下凸的（开口向上？UT 说的是“倒确实不见得是完全单调的，但一定只有一个拐点，两侧都是单调的；或者说，斜率是单调的”）。现在考虑为什么取值是固定的。我们先计算出 \(x_{0i}\) 使得 \(f_i'(x_{0i})=D\)，然后 \(x_i=\max(0, \min(t_i, x_{0i}))\)。这里其实有一个问题，对于唯一的 \(a_i>0\) 的函数，它其实是反的，\(x_{0i}\in[0,t_i]\) 时，说明 \(f_i'(0)\geq D, f_i(t_i)\leq D\)（你看那个导数的形式 \(2a_ix+b_i\) 就知道，它会反掉），是这个部分导致 \(h(D)\) 最后的样子变成下凸的。又因此你可能还要注意让 \(h(D)\) 在一个范围内被框住，防止 \(a_i>0\) 的函数算出来的 \(x_{0i}\) 飞出去（感觉应该是这样的，保留不是的可能）。还有比较逆天的 \(a_i=0\) 的函数，那就看一下 \(b_i\) 和 \(D\) 的关系，其实是一样的（但最后算答案就会比较自闭）。

好难写。不会写。

25noip二十连测day4（20251016）

• [A 开心消消乐] 括号匹配，相邻交换操作，树状数组二维偏序
• [B 越狱 / P6715] DP
• [C 冒泡排序] 排序网络，计数 DP
• [D 黑白棋 / ARC109F] DP

第三题原题来自：sort - 题目详情 - 云斗学院

\(100+0+30+16(20)=146(150)\)。倒闭了，秒掉第一题之后什么也不会。

第一题真的是一眼秒掉的。

第二题想了很久，首先是刻画了一下 \(n=2\) 的流动情况，想了一下犯人的策略，感觉犯人什么也干的出来，很难刻画。

先做一下第三题。这题肯定是先考虑 0/1 序列怎么做，再考虑排列怎么做。0/1 序列的情况很快就搞定了，有很多种等价的形式，但是没有找到那种能记在 DP 状态里然后从小往大填数的，很奇怪，就算是 \(k=1\) 也有过多状态。好奇怪。用排列直接正攻的话，好像更不能做了。

第四题写了状压暴力之后就没有想了。

第二题感觉可以改成一个水流的模型，控制水流之间的分界线。但还是诡异，好像没有发现什么新的性质。写了一下最终以过不去样例一结束。然后比赛就差不多结束了。

赛后看题解。第二题是一个 DP。核心的思路是从整体考虑，假设已经确定了所有监狱最后放了多少个人，再设计状态 \(dp_{i,j}\) 表示使得第 \(i\) 个监狱至多有 \(j\) 个人（人可以从左边或者右边过来）的方案数，转移的时候根据上一间监狱的限制决定下一间监狱最多能放多少。大神说可以先从 \(n=2\) 的情况开始想，然后就很自然地推到 \(n>2\) 的情况。

第三题就是把 0/1 序列结论写好看一点之后进行插入 DP，有点生气。结论是 \(pos_{1,k+1}\) 之后至多有 \(k\) 个零，等价于 \(pos_{1,k+1}>pos_{0,x-k}\)（此时序列中有 \(x\) 个零、\(n-x\) 个壹），又等价于前 \(x\) 个数中至多有 \(k\) 个壹。嗯，确实是这样的。这个结论就很方便 DP 了。啊，这个的推导过程不知道怎么推过去啊。问题在于，无论是哪个结论，分界点都是单调的（没有想到这个），从而可以插入 DP。

第四题也是一个 DP。这个其实不太像 DP，更像是先分析操作的结构再递推求解。时光倒流改成删除之后，先考虑第一个被完全删除的段，这时可以得知其它段的形状限制，然后发现以后删除也肯定是这个颜色的删除（不劣），最后一段除外。这样就把所有连续段的限制要求写出来。配合子序列自动机 DP 就行了。

2025/10/18NOIP模拟赛（20251018）

• [A 位操作 / CF1923F] 贪心、二分、哈希
• [B 地狱速通 / CF1859F] 傻逼树上数据结构
• [C 多元宇宙 / CF1556G] 二进制，拆出线段树区间从而建图，并查集维护连通性
• [D 奇偶排序 / CF1558F] 排序网络，转化为 0/1 序列后用线段树维护 DP

\(100+100+60(50)+50=310(300)\)。第三题数据肯定是造错了，莫名其妙的多了十分。

第一题就挺不符合第一题的难度，推导出至多使用两次二操作之后，用二分+哈希完成字符串的比较。复杂度 \(O(n\log n)\)，\(n\leq 5\times 10^5\)。这还是第一题吗？

第二题更加难绷了，首先这个 \(\left\lfloor x/2\right\rfloor\) 是唐的（其实还是用到一些单调性），这个就是纯粹给复杂度带上一个 \(O(\log V)\)，然后变成求 \(\min_x dis_1(u,x)+dis_2(v,x)\)，到这里可以用换根 DP 把全局信息压缩到路径上，查询路径信息。这样一看的话复杂度是 \(O(n\log n\log V)\)，一看 \(n\) 是 \(10^5\)，想了一下能不能 \(O(n(\log n+\log V))\)，想了一会感觉不行。

这个时候反应过来了，出题人就是逆天，这两个题就应该是这样做的，对于前两题来说非常难写，但还是要写一下。然后决定先写第一题，再写第二题。运气比较好，写完之后不用怎么大调就过了。然后给第二题加了个对拍。这出题人真逆天啊。（原来是组题人，气死了！）

竟然没时间了！第四题写了个小暴力，第三题写了个大暴力，都很唐。期间因为没注意到第三题中每个点只删一次而卡了一会。最后第四题想了一个特殊性质，这个特殊性质肯定是转 0/1 序列，没有什么悬念，然后手动模拟一下发现性质还挺好的，不用特别算什么东西，随便写一下就行了。

题解：第三题就是拆成线段树区间之后，在线段树上提前把图建出来，之后用并查集维护就很方便了。第四题拆成 0/1 序列后可以接着往下做，最后是需要线段树。

组题人根本不是人类。组题人做过自己组的题目吗？

25noip二十连测day5（20251020）

• [A 魔法试剂] 质因数分解
• [B 称重] 带权并查集
• [C 编码 / QOJ10313] 哈夫曼编码的一种扩展，DP
• [D 翻转函数] Manacher 思想

\(100+100+100+60(35)=360(335)\)。在第四题中，我因为使用 (int)set<int>(a + 1, a + n + 1).size() == n（\(n\leq 2\times 10^6\)）判断数组中的数字是否互不相同导致 TLE on test 1。

第一题卡了一个小时，一直说要 DP 或者直接搜索之类的，后来才发现答案的种类数不多，发现之后就会完了。

第二题读懂题之后想到带权并查集就做完了，可能写的时候会被卡一下。

第三题就是要考虑先确定树形态，再按照树节点的深度顺序逐个确定结点的位置。可以用一个 DP 对树节点的深度进行刻画，然后再逐个结点填进去。要滚动数组的话需要一点点手法。

第四题写完 \(O(n^2)\) 之后想了很久之后才想到这是要套用 Manacher 算法进行改造的题目，但是时间不够了。后面看题解看了一下就是 Manacher，但是没想到的东西还挺多的。在 Manacher 算法中，\(x\) 从 \(f_{2mid-x}\) 继承过来的时候，当 \(x+f_{2mid-x}>r\) 时，原来的算法是直接将前者对后者取最小值。如果现在说，我们需要把继承后的区间暴力收缩到 \(\leq r\)，那么复杂度可能会出现一些问题。如果规定多个相同右端点时选取中心靠右的，那么可以证明复杂度是正确的，因为既然 \(2mid-x+f_{2mid-x}\leq r\)，所以 \(x+f_{2mid-x}-r\leq 2x-2mid\)，前者是收缩的次数，后者由于发现这种事情的时候 \(mid\) 会被更新为 \(x\)，全局均摊下来就是 \(O(n)\) 的，所以总复杂度不变。精细实现即可整道题线性。

25noip二十连测day6（20251021）

• [A 列队] 签到题
• [B 子序列] DP 优化
• [C 骑士] 设计 DP 状态
• [D 文本编辑 / P6700] 基环树森林，贪心，状压 DP

\(100+100+100+40=340\)。

第一题签到。

第二题推到 \(O(n)\) 的状态数之后，就直接线段树优化了，有一点难写吧。

先做了第四题，搞了几个很显然的结论之后感觉这道题挺简单的，写了一下过不去样例才发现假了，复杂程度超乎想象，先跳过了。

第三题一上来就把点分成 \(\geq d/2\) 和 \(<d/2\) 的，然后想了几种方法，最后确定下来以 \(0,d,1,d-1,\cdots\) 的顺序 DP，随便扫一下就行了。

第四题枚举最后每种字符怎么变，一个 \(6^{6+2}\) 左右的暴力。写完之后发现不知道后面的部分分怎么做了。通过打表发现了

1. 好像绝大多数存在出现两次的数字的序列都是可以被生成的，是排列的序列只有不操作的那一种是可以被生成的；
2. 一个环可能会有额外的一次贡献（操作二），尤其是纯环，但是好像不太知道纯环是怎么构造方案的；（纯环指连通块的点都在环上的连通块）
3. 好像贡献至少是纯环个数加上非自环的边数，不会构造方案，对于是否有别的部分因为神秘原因没写验证程序；
4. 图是 DAG。（？？？）（以为是对的，结果是最逆天的结论，直接导致后面的部分卡住）

这里又要记住了，《星战》那一年已经错过了，今天又错一次：所有点出度都为 1 的有向图是基环树森林。

1. 一个序列 \(to_i\) 可以被生成当且仅当 \(to_i=i\) 或者 \(to\) 中有不超过 \(n-1\) 个不同的数字；
2. 贡献是纯环个数加上非自环的边数，方案可以构造，略；
3. 图是基环树森林，因此可以写一个 \(O(3^n)\) 的算法通过 \(n=18\) 的部分分。

接下来似乎有一点难受。我们提出一个想法，考虑贪心，先给每个点都直接选代价最小的边，我们发现如果得到一个没有纯环的图就做完了，因为此时所有点都最小化且没有产生额外的代价，那么一定得到的最小的答案。

如果得到的图有纯环似乎又陷入僵局。我们发现最优的图上的纯环，一定在贪心得到的图上存在（但不一定为纯环）。如果不存在，找到不优的边把他改成贪心的边，那么一定会减少一个纯环，且边还变得更优。所以我们在新图上可以认为，除了原图上已经存在的环，额外的纯环不用支付 \(c\) 的代价：因为即使不需要 \(c\) 的代价，纯环仍然不优。由于原图最多 \(13\) 个环，因此我们可以状压 DP 记录每个环（注意，无论是纯环还是杂环都要记录）是否已经不为纯环，最后给仍为纯环的加 \(c\) 代价。这样就做完了。\(O(n^22^{n/2})\)。

感觉这后面的部分挺难的，但是沈队说可以想，我也想不出来这个要怎么想。

25noip二十连测day7（20251022）

• [A 划分字符串] 诈骗搞笑题
• [B 记忆碎片] 贪心，阶梯状柱状图
• [C 三分图计数] LDS，插入 DP，排列字典序，计数
• *[D 登山计划] 求最值，分治，贪心，线段树分治

\(100+100+80+50=330\)。

第一题的结论好难绷啊。

第二题很自然地想到把所有数字排列成杨表的形状，然后枚举并贪心。

第三题首先要发现 \(LDS\leq 3\) 的排列是合法的，然后模拟 LDS 求解的过程（无论是转为 LIS 的划分还是树状数组优化的转化），可以写出一个 \(O(n^4)\) 的 DP，可以前缀和优化到 \(O(n^3)\)。但是由于有这个排列的字典序限制（求出字典序小于等于某个输入排列的合法排列数量），所以可能会有一点难绷。

有两种顺序，第一种也是我直接想到的一种，就是从后往前，维护树状数组优化做法需要的变量，通过康托展开得到的变进制数进行比较，记录已经确定的后缀与给定排列的大小关系（关系可以一直变），然后做插入 DP。当时写了 \(O(n^4)\) 就跑了，忘了还有个前缀和优化能写了，但好像因为常数因子特别小，所以碾过去了 \(n=300\)。问题在于这题是多测 \(T,n\leq 300\) 而不是 \(\sum n\leq 300\)，这个做法是由于严重依赖输入排列的信息，所以只能做到 \(O(Tn^3)\) 的，过不了一点，最后获得 \(80\) 分。

第二种是题解做法，就是从前往后，转为 LIS 的划分并维护序列中的三个数（\(O(n^3)\) 空间，这下知道为什么 \(n=300\) 了），因为是从前往后的，很自然就知道要枚举相同的一段前缀和后面第一个填的数，然后进行 DP 转移，记录序列中的数字之间还有多少个数字可以填。这样做就摆脱了输入排列地限制，舒服得多，很容易就能把复杂度从 \(O(Tn^3)\) 变成 \(O(n^3+Tn^2)\) 的。这样就肯定能过了。同理，不做前缀和优化得到的 \(O(n^4)\) 算法也能随便过。

第四题更是逆天。前两个子任务（\(20\) 分）甚至第三个（\(5\) 分）都是送的，一开始还写错了数据点分治，后面无意识地把数据点分治改成判断子任务编号，蹭过去了。然后是子任务 4、5（\(25\) 分），初见端倪，虽然和正解完全没有关系，但还是有必要记一下。问题如下：

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a_i\}\)，\(m\) 次询问 \(l,r,k\)，回答 \(\max_{i=l}^{r-k+1}\min_{j=i}^{i+k-1}a_j\)。要求 \(O((n+q)\log n)\)。

对 \(a_i\) 建立笛卡尔树，求出 \([s_i, t_i]\) 使得 \(l\in [s_i, i], r\in [i,t_i]\) 都有 \([l,r]\) 的最小值为 \(a_i\)。注意这些区间不要重复，手动为相同的 \(a_i\) 添加第二关键字（例如 \(i\)）。把像 \(l\in [s_i, i], r\in [i,t_i]\) 这样的范围画到平面直角坐标系上，区间 \([l,r]\) 对应点的坐标为 \((l,r)\)，这样画出来是 \(n\) 个矩形，把上三角的部分覆盖了，而且每个点被覆盖恰好一次。

考虑询问，为了方便我们让 \(k\) 减去一，询问就是问 \([l,l+k],[l+1,l+k+1],\cdots,[r-k,r]\) 这些区间的最小值的最大值，也就是平面上一条平行于 \(y=x\) 的斜线段。有一个性质，这条斜线段经过的矩形，要么矩形完全包含斜线段（此时这个矩形是唯一的，值为 \([l,l+k]\) 的最小值），要么和矩形的边界有交。把矩形拆成四个边界就好办了，以下边界（\((s_i,i)\) 到 \((i,i)\) 的边）为例，设交点为 \((p,p+k)\)，则斜线段与这条边界有交当且仅当：\(p+k=i\land p\in [s_i,i]\cap [l,r-k]\)，可以把它们写开：\(i-k\in [s_i,i]\cap [l,r-k]\)，拆成 \(k\in [0, s_i-i]\land i\in [l+k,r]\)，这就很爽了，我们把它拆成了二维偏序，可以 \(O((n+q)\log n)\) 地做。另外三条边界是同理的，都可以这么拆。

做到这里之后就摆烂了。然后看那个正解，完全没有关系。正解是考虑分治，统计跨过分治中点 \([mid, mid + 1]\) 的贡献时，枚举 \(k\)，然后考虑答案的计算 \(\left|\min(la_l,lb_l)-\min(ra_r,rb_r)\right|\)，根据大小关系分类，使用二分找到分界点，用数据结构查询。很难写。

25noip二十连测day8（20251023）

• [A 鱼人（game）] 简单（？）博弈
• [B 前期攻势凶猛（linear）] 辗转相除
• [C 机械（Tree）] 神秘的匹配计数问题，简单结论
• [D 则以后期见长（mex）] 维护未出现的数的位置从而求出 MEX

\(100+100+20+10(30)=230(250)\)。

第一题卡了一个多小时才把结论完整地证明出来。

第二题很快想到了怎么做，但是被卡空间了，很自闭。这里是，原数组会产生 \(O(n\log V)\) 个信息，询问需要提取其中的 \(O(q)\) 种进行二分，然而 \(n,q\) 是同阶的，所以如果没有思考直接就写了，可能会 MLE，即使没有 MLE，也有 TLE 的风险。比较好的写法是先把询问离线下来，知道询问需要哪些信息，然后再从原数组中生产 \(O(n\log V)\) 个信息，如果这个信息是询问所不需要的，那我们也不需要将其记录，这样就节省了空间。还有一种逆天方法，把原数组分成 \(O(\log V)\) 块，每块 \(O(n/\log V)\) 个，每一块都把它和询问一起跑，这样跑 \(O(\log V)\) 轮，每轮 \(O((n/\log V\times \log V+q)\log n)\)，还是 \(O(n\log V\log n)\)，不改变复杂度。

第三题，想不到啊！转化为这样一个问题，左右各有 \(n\) 个点的二分图，有 \(2n\) 条边连接它们。现在为每个点匹配一条边，求匹配方案数。等价的形式：为每条边定向，使得每个点只有一条出边。发现二分图是掩人耳目的东西，把二分图的条件丢掉，立刻就能发现当每个连通块是基环树时，存在完美匹配，方案数为 \(2\) 的基环树个数次方。感觉很生气，建模的时候用到二分图，最后却和二分图没有关系（当然有一个部分分是用 Dinic 跑二分图匹配判断是否有解，但我好像没有意识到这是一个匹配问题）。

第四题没敢做，感觉很恐怖。大概是这样的，如果本题离线的话，做法是时光倒流将加入改成删除，从集合里删除一个数后，它的 MEX 会和这个数取最小值。这提醒我们，未加入的数字是很重要的。假如对每个数字，它在哪些集合中没有出现是确定的，那么我们可以用一棵线段树，对这些集合的位置进行 chkmin 就行了。所以我们使用颜色段均摊，维护每个值对应的没有出现的位置。注意，我们需要撤销之前的区间 chkmin 操作，这意味着我们需要对每个线段树结点维护它对它子树里的点的 chkmin 标记，需要对每个点维护可删堆，同时线段树的信息维护方法也会有一些改变，类似于标记永久化线段树。

The 4th Universal Cup. Stage 3: Polar Grand Prix

我做的题：D 和 G

我提供思路但不是我写的题：C 和 J

我真牛。

需要补题：

• [B Christmas Tree / P9111] 树形 DP
• [E Maximum Segment Sum] 格路计数，反射容斥
• *[F This Time I Will Be Lucky] 浮点数 DP 优化（？）

E 题单独说一下这个反射容斥是什么，因为题解里面没有写。

考虑双射。当你第一次向正右的时候，改为向右下（到y=-1）。初始 y=0。然后如果不是沿着正右走，就按照正常方式上下相反的方式走，右上->右下，右下->右上。然后如果又有一次向正右走，此时一定y=-1，再走到y=0即可。

2025/10/25NOIP模拟赛（20251025）

• [A 剖分] 树形 DP
• [B 海啸 / ARC201B] 二进制、贪心
• [C 不稳定金属锭] FWT、线段树二分
• [D 最小生成树] 线段树合并

我是出题人。这场比赛出的还算满意吧。

25noip二十连测day9（20251027）

• [A 染色游戏] 贪心、模拟
• [B 动态图] 并查集
• [C 憧憬] 分治，偏序相关问题
• [D 猜数字游戏] 蓝眼睛红眼睛问题，偏序降维

\(100+100+100+10=310\)。这场模拟赛怎么比浙江旅行团模拟赛还简单，这是什么情况，有 50 个人 300 分。

第一题随便搞一下贪心，差不多那样就行了。这样例什么情况，一遍过了。

第二题想了好久能不能线性。但发现有一个哈希表瓶颈之后释怀的笑了，随便写了一个，复杂度除了哈希表应该是 \(O(n\alpha(n))\) 的，但是哈希表写了 std::set，为后面被评测机波动卡常埋下伏笔。大样例又是一遍过。

第三题的结论挺好的，没有写分治，直接单调栈+扫描线就过了，感觉没有什么难点。大样例又是一遍过。我有点怀疑我要不要对拍了。

第四题前面的转化没有发现本质，没做出来。大概如此，有 \(n\) 个人，第 \(i\) 个人帽子上有一个整数 \(a_i\)，他能看到别人的帽子上的数字，却看不到自己帽子上的数字。他们的共识为：\(a_i\) 符合某一些特定的条件（称作合法），且所有人都绝顶聪明。第 \(i\) 天开始时，如果有人发现自己帽子上的数字不是某个特定的整数，那么在这一天结束时他会向所有人公布该信息，并停止游戏。如果一直没有人发现，则游戏会一直进行。

为了求出第几天时游戏会结束，我们维护一个数列的集合 \(S\) 表示 \(S\) 中的数列都不可能是真实的 \(a\) 数列。初始时 \(S\) 中都是不合法的数列。随后第一天，如果有人发现自己看到的信息符合 \(S\) 中的某个数列，则第一天结束时他会立刻报告以结束游戏。因此，游戏在第一天结束，当且仅当存在 \(S\) 与 \(a_i\) 的编辑距离为 \(1\)。

第二天，大家就会知道不存在 \(S\) 中数列与 \(a_i\) 的编辑距离为 \(1\)，因此与 \(a_i\) 的编辑距离为 \(1\) 的数列会立即降低至和不合法一样的地位。可以把这些数列加入 \(S\) 中，然后重复第一天的过程，然后就可以接着递推，得到最终结论：游戏在第 \(n\) 天结束，当且仅当存在 \(S\) 与 \(a_i\) 的编辑距离为 \(n\)。（编辑距离都是指修改次数）后面的部分就简单了，改成最大化相同的位置数，然后变成三维最长子序列，然后发现其中两维都正确偏序时第三维也自动被偏序，于是可以改成二维偏序，复杂度 \(O(n\log n)\)。

25noip二十连测day10（20251028）

• [A Persecution] 二进制贪心
• [B Guiltiness] 异或的性质
• [C Hypochondriac] 二分凸函数套二分凸函数，根号平衡
• [D Reality] 纯数学，计数，同余，矩阵快速幂，有一点找规律的意思

\(100+100+8(90)+35=243(325)\)。傻逼大样例，16 个样例全部过了，都能挂掉 82 分，傻逼啊！

第一题感觉好像见过了。就是从最大值开始往下取一定最优。

第二题先把 \(X,Y\) 改成 \(X\oplus Y, 0\)，这样就看的很舒服，很快发现哪些部分是自由的，然后后面的也挺好做。

第三题逆天。有三个凸函数 \(f,g,h\)，求出 \(\max_{x,y}f(x)+g(x+y)+h(y)\)。从这个角度看，可以把 \(f,h\) 做闵可夫斯基和，然后再和 \(g\) 对位加，得到的结果肯定是凸函数，因此可以对答案凸函数二分，先二分 \(x+y\)，再二分 \(x\)。二分在这里说的是二分凸函数的导函数，找到导函数的零点。我真的是服了，这个二分的部分全部写错，可以过所有大样例。贴一个正确的代码。注意 \(=0\) 的判断，注意答案取谁，注意答案初值。

template <class Func>
LL binary(int l, int r, Func&& func) {
  r -= 1;
  LL ans = func(l);
  while (l <= r) {
    auto mid = (l + r) >> 1;
    auto f1 = func(mid), f2 = func(mid + 1);
    if (f2 - f1 < 0) ans = f2, l = mid + 1;
    else r = mid - 1;
  }
  return ans;
}

最后一个根号平衡结束本题。（\(O(q\log^2V)\) 次询问，但是 \(O(n+q)\) 次修改，分块很舒服）

第四题纯数学题。首先需要发现走 \(n\) 步的方案数是有性质的（这种题肯定要有性质，猜都要猜出来）。然后枚举中间计算贡献的位置 \(\bmod n\) 是多少，假如是 \(u\)，这样以后可以暴力跳掉前 \(u\) 个，然后矩阵快速幂转移掉中间的所有 \(n\)，最后再暴力跳 \((c-u)\bmod n\) 步。这两个暴力好像也要想一下，但其实不难，肯定能做的，就是简单的同余数论。例如最后的暴力跳，要做的是求一个大区间内有多少个 \(\bmod m=t\) 的数，这个就是两个上取整解决了。

而事实是这个矩阵快速幂没有这么简单，按照刚才这么说只能搞出来一个 \(10\times 10\) 的矩阵。正确的做法大概是这样的。考虑初始时区间 \([l,r]\) 中的值都是 \(c+1\)，其它都是 \(c\)，然后走过 \(n\) 步之后，就会变成 \([l,r]\) 中的值都是 \(c2^n+len+1\)，其它都是 \(c2^n+len\)，其中 \(len=r-l+1\)。另外，我们可以计算从区间 \([l,r)\) 出发（区间内方案数都是 \(1\)，其它都是 \(0\)），那么走 \(v\) 步之后就是 \([l2^v,r2^v)\)，令 \(m=2^n-1\)，其中 \(\bmod m=t\) 的点有

\[\left\lfloor\frac{r2^v-t-1}{m}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{l2^v-t-1}{m}\right\rfloor \]

用 \(\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor=\frac{a-(a\bmod b)}{b}\) 拆掉这个式子，注意到 \(2^n\bmod m=1\)，所以 \(a\bmod b\) 这一项是一直不变的。而 \(a/b\) 这一项，要计算的是 \((r-l)2^v/m\)，这个就很舒服了。暴力是枚举 \(u<n\)，然后维护 \(c\)，每次走 \(n\) 步，走完之后立即计算从这里经过关键点之后到达终点的方案数，形式很简单，只需要算 \(\sum 2^vans\) 和 \(\sum ans\)。矩阵快速幂优化，只需要维护 \(c, \sum 2^vans, \sum ans, 1\) 四个值就行了，这样就能通过了。

25noip二十连测day11（20251029）

• [A Influence] 简单组合计数
• [B Revealed] 神秘的两行网格 DP
• [C Jealousy] 数论，双指针
• *[D Return] 概率与期望，拆贡献，模拟消元解方程组

\(100+100+100+15=315\)。第三题比第二题简单没绷住。

第一题，很简单的组合计数，但是可能是没睡醒所以搞了好一会才搞出来。

接下来，第二题比第三题好想（第三题读题的时候就大概明白了关键结论），但是第二题肯定比第三题好写。先做了第二题（所以为什么要先做第二题，就因为预估第三题难写吗？）。额，反正最后就是想出来了，就是看着这个数据范围反推 DP 状态再反推定义和转移。有一个重要观察是只有同种颜色的最后一次出现是有用的。然后可以观察一条往右的路径作为主线，只去推主线，其它颜色到最后再结算。有了这个思路之后，再随便证明一点东西就能把算法修对了。感觉就是很幸运地对上了脑电波。

第三题竟然没有意识到它有区间包含单调性！算了，反正都一样，强行写矩形并扫描线也过了。气笑了。就是对每个点单独考虑，然后把包含这个点的所有不合法区间全部 ban 掉，最后一遍扫描线。

第四题，很难啊，写完 \(O((n2^n)^3)\) 之后就没有更多有效的思考了。还没仔细看。

25noip二十连测day12（20251030）

• [A 子序列] 没有很显然的简单题，字符串、子序列、子序列自动机、贪心
• [B 加加减减] 模拟 DP，维护 DP 数组
• [C 相邻的 1] \((k+1)^{n/k}\) 的状压 DP
• *[D 排列] 排序，平衡树维护排列置换环

\(100+100+60+60=320\)。

第一题硬控了一会，主要是没想到为什么这个东西是对的？呃，好像最后也没想出来。练习了一下写 checker 并对拍，然后就放了。

第二题有 Slope Trick 的嫌疑。不过比那还要简单得多，随便写就过了。题解好像是调整法，没搞懂。

第三题想了一下，好像想起来 CTT2024 的某道题目，做法是数据点分治，两个暴力拼起来。\(k\leq 10\) 的暴力及其简单，但是后面的部分不会。

第四题的结论好像很简单？只用关心每个置换环最小的那个位置，他会给前面的带来 \(-1\) 贡献。暴力就是暴力求出置换环，线性。

第三题想到了 \(k\geq n/2\) 怎么做了，看起来是 \(\text{poly}\ n\) 的，应该能过。想改成可能能过的，就枚举一下中间 \(n-2k\) 个数，应该就对了。但是还是先写第四题，因为看起来有点难写，第四题有一个不修改排列的特殊性质，顺手写了。然后写第三题，写了一半之后决定放弃 \(2^{n-2k}\) 这个部分了，不仅是难写，而且 MLE 了，仔细一看前半的暴力如果 \(k\) 到 \(16\) 也很接近 MLE，自闭了，决定写完 60 分就不写了。然后也是比较顺利地写完了。感觉写的很难受。仔细一看复杂度，\(k\geq n/2\) 的部分的复杂度为 \(O(n^5)\)，估计离正解很远了，自闭了。

第四题后面的部分，不会是平衡树吧，有没有好一点的方法。根号好像不行。然后就想不到了。沈队用了线段树分治，两个 \(\log\)，得到了更高的分数（没过），怎么没想到。然后题解真的是平衡树维护，有点服了，怎么上来就否掉平衡树然后忘记了。

感觉就是正常下限水平吗？梁队直接过了第三题，还是太强了。

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