【笔记】数学 2025.8.2

【笔记】数学 2025.8.2

为什么只有两道题呢？因为其它的要么做过要么听不懂。

AtCoder pakencamp_2022_day3_l

lowbit 有可能是 __lg(x & -x) 的意思 \(\newcommand{\lb}{\operatorname{lowbit}}\)。加强版：给定 \(u, v\)，要求 \(a_u=v\)。

结论 0：给定 \(a, c\)，如果 \(\lb(a)<\lb(c)\)，那么对于 \(0\leq b<2^m\)，\((a\times b)\oplus (b\times c)\) 等概率出现 \(2^{\lb(a)}\) 的所有 \(<2^m\) 的倍数。证明：可以从低向高枚举 \(b\) 的第 \(i\) 位，它取 0/1 可以直接决定结果中第 \(\lb(a)+i\) 的值（可能有进位，但是这些进位可以推到 \(b\) 的下一位去取反）。

所以：当数列中所有数中的 \(\lb\) 有不相等的，就会出现 \(\lb(a)<\lb(c)\)，我们就可以说此时的结果等概率分布 \(2^d\) 的所有倍数，其中 \(d\) 就是数列中最小的 \(\lb\)。

当数列中所有数的 \(\lb\) 都相等时，需要另外一个结论：

结论 1：\(a,c\) 是奇数，给定 \(a\)，令 \(d=\lb(a\oplus c)\)，那么对于 \(0\leq b<2^m\)，枚举 \(t=\lb(b)\)，可以发现 \((a\times b)\oplus (b\times c)\) 在所有 \(\lb=t+d\) 的数中等概率分布。证明：结果中低于 \(d+t\) 的位，\(a\times b,b\times c\) 这两个算出来是一样的，直接被抵消；结果的第 \(d+t\) 位，由 \(b\) 的第 \(t\) 位和 \(a\) 或 \(c\) 的第 \(d\) 位决定；结果中高于 \(d+t\) 的位，由 \(b\) 的高于 \(t\) 的位自由决定是否取反。

推论：\(a,c\) 是奇数，给定 \(a\)，令 \(d=\lb(a\oplus c)\)，那么对于 \(0\leq b<2^m\)，\((a\times b)\oplus (b\times c)\) 在所有 \(2^d\) 的倍数中等概率出现。

所以当数列中所有数的 \(\lb\) 都相等时，可以差不多地做。如果 \(u − 1\) 或 \(n − u\) 是奇数，那
么仍然可以均匀取到 \(2^{\lb(v)}\) 的所有倍数（不知道为什么）；否则枚举 \(d'=\min(\lb(a_i\oplus a_{i+2}))\) 其中 \(i\equiv u\bmod 2\)，结果就会在所有 \(2^{d'}\) 的倍数中等概率出现。然后好像就结束了。

qoj9651 又一个欧拉数问题

将 \((>)\) 容斥成无限制减去 \((<)\)，这样我们就不用去管 \((>)\) 的情况。\(dp_{i,S}\) 表示当前放了 \(i\) 个数，最后的 \(k-2\) 个符号为 \(S\)。每次往后添加长度为 \(j\) 的连续段，要求连续段里面是单调升的，连续段之间就无限制。将转移写为一个 \(2^{k-2}\times 2^{k-2}\) 的矩阵 \(A\)，矩阵的元素是一个 OGF，然后倍增求出 \([x^n]\frac{1}{I-A}\)。哦哦，系数有一点难算啊。

QOJ-4921 匹配计数

这个题有教育意义，以后可以写一下题解。