【笔记】DP 优化 2025.8.3

【笔记】DP 优化 2025.8.3

簡易版 LARSCH Algorithm - noshi91のメモ（在线 1D1D 决策单调性分治）

2025.1.1 闲话 - yspm - 博客园、严谨的 WQS 二分方法 - 洛谷专栏

决策单调性与四边形不等式.pdf —— 长郡中学 彭思进 2021年5月19日

《决策单调性与四边形不等式》 - 学习笔记 - p_b_p_b - 博客园

QOJ-9737 Let's Go! New Adventure

将代价函数的定义域扩展到实数，即 \(w(x)=k+(x-sumb_k)/b_{k+1}\)，其中 \(k\) 是最大的 \(sumb_k\leq x\)。然后就可以决策单调性了。计算 \(f\) 的时候再取整回去。可以从 \(O(n\log n\log V)\) 优化到 \(O(n(\log V+\log n))\)（但是看不懂怎么做）。

牛客-276298 思

\(f_{l,r,k}\) 表示当前确定 \(x\) 在 \([l,r]\) 区间内，答案将有额外 \(kx\) 的贡献。有二维决策单调性，对于固定的 \(k\)，有

\[\huge opt_{l,r-1}\leq opt_{l,r}\leq opt_{l+1,r} \]

（看清楚这里写的是什么！！！），其中 \(opt_{l,r}\) 是 \(f_{l,r,k}\) 的决策点。优化：\(k\) 的范围是 \(O(\log V)\) 的。复杂度 \(O(n^2\log V)\)。

QOJ-5363 ZYB 的游览计划

题解：QOJ5363 [北大集训2018] ZYB 的游览计划 / SS221028D journey - caijianhong - 博客园

如果这里直接使用 2D1D 决策单调性，\(f_{k,i}=\min_{j<i}f(k-1,j)+w(j+1,i)\)，注意是

\[\huge opt_{k-1,i}\leq opt_{k,i}\leq opt_{k,i+1} \]

QOJ-6610 Forged in the Barrens

2024 年广东省队集训第 10 场第 2 题

划分区间，区间内有一个数的贡献系数是 \(+1\)，有一个是 \(-1\)，其它都是 \(0\)，这样和原问题是一样的。

闵可夫斯基和分治。记录：这个区间左边没有数和右边匹配、或有一个 \(+1\) 等待匹配、或有一个 \(-1\) 等待匹配。右边同理。

注意，凸函数与凸函数的对位 chkmax 之后不一定是凸函数，所以凸性不是显然的。

CodeForces-802O April Fools' Problem (hard)

wqs 二分 + 反悔贪心。wqs 二分相当于将所有 \(b_i\) 减去某个值。注意 wqs 二分需要主动最小化最终试题数量，反悔贪心需要相应加一个第二关键字。

一个题

给定一棵树，边有边权，点有点权。
我们需要做恰好 \(k\) 次选择。每次选择一个节点和他的两条邻边，其中每条边只能被选择一次。
一个选择方案的权值定义为，选择了至少一次的点的点权之和，减去被选择的边的边权之和。
求最大权值，并给出方案。\(n≤2×10^5\)。

wqs 二分，树形 dp。构造方案的时候，记录每一步状态的最小选择数和最大选择数，暴力枚举每一棵子树的选择数即可构造方案。

Gym-102268J Jealous Split

等价于构造划分最小化 \(\sum s_i^2\)（莫名其妙）。wqs 二分、斜率优化。构造方案需要特殊做法，用路径的性质。

QOJ-2211 IOI Problem Revised

理论：路径单调性与不交性（自己去看彭思进课件）

1. 断环为链，用 wqs 二分求出从 \(0\) 到 \(n\) 的一个划分 \(k\) 个区间的答案。这里需要用到 wqs 二分的构造方案的特殊方法。
2. 跑那个 \(k\) 个区间的大分治，注意区间最多是端点重合。

QOJ-6735 Tree

树形 dp、树剖线段树。