一个和莫比乌斯反演有关的东西

一个和莫比乌斯反演有关的东西

数论柿子题的发现 - 博客 - masterhuang的博客

以下会用到两个作用于函数的算子 \(\Sigma, \Delta\) 的定义分别是 \(\Sigma f(n)=\Sigma f(n-1)+f(n)\)（前缀和），\(\Delta f(n)=f(n)-f(n-1)\)（差分）。这个记号和《具体数学》上有限微积分的符号不是一样的。

对于

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i, j)=1] \]

这个式子，我们知道一种做法是先折半然后就能写成 \(\varphi\) 的前缀和：（\(-1\) 是因为 \(\gcd(1, 1)=1\)）

\[2\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i[\gcd(i, j)=1]\right)-1=2\sum_{i=1}^n\varphi(i)-1 \]

还有一种做法是直接用莫比乌斯函数进行反演：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d|\gcd(i, j)}\mu(d)=\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\lfloor n/d \right\rfloor^2 \]

但是为什么这两个式子是相等的呢？我们考虑我们有一个经常拿来用的引理：若 \(f*g=h\)，则 \(\Sigma h(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\Sigma g(\left\lfloor n/i \right\rfloor)\)。

如果我们有一个函数 \(g(n)\) 满足其前缀和 \(\Sigma g(n)=n^2\)，那么我们就有一点它们相等的希望。而显然 \(g(n)=n^2-(n-1)^2=2n-1\)，于是就知道原式等于

\[\Sigma(g*\mu)(n) \]

又众所周知狄利克雷卷积存在对加法的分配律，以及常数可以自由进入 \(*\) 号，我们将原式改成

\[\left(2\Sigma(\textrm{Id}*\mu)-\Sigma(\textrm I*\mu)\right)(n) \]

这些都是经典结论了，\(\textrm{Id}*\mu=\varphi, \textrm I*\mu=\epsilon\)，也就是说原式等于

\[(2\Sigma\varphi-\Sigma\epsilon)(n)=(2\Sigma\varphi-\textrm I)(n) \]

\(\epsilon\) 的前缀和恰好为 \(I\)，所以这就等于上文那个 \(\varphi\) 的前缀和的形式。其实它们是有联系的！

以上过程成立，都是因为以下这个重要的式子成立，真是太有趣了。还可以用这个技巧优化更多此前没有注意过的题目。

\[f(n)=\sum_{i=1}^ng(i)h(\left\lfloor n/i\right\rfloor)\iff \Delta f=g*\Delta h \]