日记 2023.5.20：2023 syzx 春季训练 9

A

差分，操作分为：合并、删极左/极右

先手一定会删。

考虑先手删完之后，最中间的点不可能被删。

考虑加入后手，如果先手删左，我就把中间的和右边合并；否则反之。那么这样子不会使得先手能拿到的状态更优。

那么仔细思考一下，最终答案是 \(\max_i\{a_i+a_{i+n/2}\}\)，当然要排序。

B

状态数极少。\(dp(x,y,z)\) 表示这个状态必胜（1）或必败（0）。

如果它的所有转移都是必胜，你必败；如果有一个必败，你必胜。

所以可以有一个 \(O(300^4)\) 的做法。

bitset/前缀和。

C

模完一个小的数，再模一个大的数，毫无意义。

所以只考虑前缀最小值。

D

meet in middle.

trie/hash.

或者：对每次考试赋一个随机权值，考虑知道选什么的时候，按列考虑，如果对了就拿到那一场考试的分，最终对比和右边是否相等。最后枚举答案即可。

E

\(k^v\bmod (k+1)\in\{1,k\}\)

当对手取一，我就取 \(k\)；当对手取 \(k\)，我就取 \(1\)；还有一种轮流拿一的。

即，循环节为 \(k+1\)。

F

如果用第一种操作，那么 \(\log\) 次就能收敛。

如果它导向一个必败态，令 \(B=b-b\%a\)，那么我们会试图去拿一些 \(a^k\) 去减。同时除以 \(a\)，回到了 E。

G

每个游戏是单独的。考虑算出每个游戏的 sg 值之后异或，等于零就必败。

考虑打表 sg。

发现真的分形。

H

分解质因数，分解成独立的游戏。

预处理 \(2^{20}\) 以内的 sg，往上的转移极少（考虑最高位变化，最多减 \(9\) 就能到达预处理的地方）

I

\(p^k\) 之间有影响，把它们化为独立的游戏。

直接暴力求出 sg。其实很少。

J

切完之后的游戏是独立的。

旋转一下，暴力求 sg。

K

\(t_i+1\) 等于 \([i,n]\) 的前缀最小值数量。

若已知 \([i+1,n]\) 的方案数，考虑放入 \(i\)，\([i,n]\) 的前缀最小值一定在 \([i+1,n]\) 的前缀最小值与 \(i\) 当中。（注意这里是动态的，放进去之后还要交换）

所以 \([*]=\prod\binom{c_{i+1}+1}{c_i}\)