记一类树上点覆盖问题
1
有一棵树上有 \(n\) 个点，每个点都要被覆盖。
现在可以选一些点放置覆盖器，每个覆盖器可以与它 \(\le 0\) 的点，求最少放置数及方案。
这个显然是给每个点放一个覆盖器。
2
#1 中的每个覆盖器覆盖的距离换成 \(1\)。
DP 输出方案很困难，考虑贪心。
随便选一个点作为根，记 \(f_x\) 表示点 \(x\) 的父亲。
不难想到按深度从大到小考虑，对于一个已经被覆盖的点直接略过。
现在如果点 \(x\) 没被覆盖，显然选 \(f_x\) 放覆盖器更优。因为 \(x\) 往下的节点已经全被覆盖，放 \(f_x\) 比放 \(x\) 还能多覆盖一些更上面的点。
对于每个 \(x\)，判断是否被覆盖只要看 \(x,f_x\) 中有没有覆盖器即可，时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)
3
#1 中的每个覆盖器覆盖的距离换成 \(k\)。
可以像 #2 一样贪心放 \(k\) 级祖先，但这样判断是否被覆盖是 \(\mathcal O(k)\) 的，总时间复杂度为 \(\mathcal O(nk)\)。
但可以发现一个性质，就是当 \(k\) 大的时候要放覆盖器的数量是不多的。感性理解一下就是当覆盖的范围很大，那么覆盖器就能覆盖很多的点，这样覆盖器的数量就不会多。
严谨一点的话可以考虑最坏情况，即一条链。此时要放覆盖器的数量是 \(\mathcal O(\dfrac{n}{k})\) 的。
所以考虑平衡修改（放覆盖器）与查询（判断是否被覆盖）的复杂度。
对于放覆盖器的点 \(x\)，把要标记的点分成在它子树内和其它的两种。
对于第一种，将子树用 dfs 序变为区间。
发现如果只统计上面的覆盖器覆盖下面时，如果能覆盖到更下面的点时一定能覆盖到它。
那么我们设一个 dfs 序列它的意义为：
对于序列中的位置 \(i\)，只统计上面的覆盖器覆盖下面时 \(i\) 对应的点 \(x\)（\(\operatorname{dfn}(x)=i\)，\(\operatorname{dfn}(x)\) 表示 \(x\) 在 dfs 序中的编号）最大能被覆盖到多深，如果这个深度是 \(\ge x\) 的深度时 \(x\) 就是被覆盖的。
对于第二种，可以看作在 \(f_x\) 能覆盖子树中距离 \(\le k-1\) 的点，在 \(f_{f_x}\) 能覆盖子树中距离 \(\le k-2\) 的点，\(\dots\)，是类似第一种的情况。
发现对于点 \(x\) 上面的覆盖器，我们用第一种统计了。对于 \(x\) 下面的覆盖器会被第二种统计，所以是正确的。
那么我们只需要做区间取 \(\max\)，单点查询，可以用线段树维护。
这样的话处理第一种是 \(\mathcal O(\log n)\) 的，算上第二种一共 \(\mathcal O(k\log n)\)，由于只会被修改 \(\mathcal O(\dfrac{n}{k})\) 次，所以总时间复杂度降为 \(\mathcal O(n\log n)\)。
注意要判断是否存在 \(k\) 级祖先。
4
#3 但覆盖点不为全部点/覆盖距离会改变。
只要满足放 \(k\) 级祖先一定不劣就可以像 #3 一样做。
例题
P2279
\(k=2\) 时的 #3，当然 \(\mathcal O(nk)\) 也能过就是了。
代码略。
P3523
二分答案后就变为 #3 了。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005
using namespace std;
vector<int>s[N];
int n,m,tot,a[N],p[N];
int fa[N],dep[N],siz[N],dfn[N];
class Segmentree{
#define l(i) ((i)<<1)
#define r(i) ((i)<<1|1)
#define v(i) tr[i].val
private:
struct xs{
int val;
}tr[N<<2];
public:
void clear(){memset(tr,0,sizeof tr);}
void upd(int ql,int qr,int v,int x=1,int l=1,int r=n){
if(ql<=l&&qr>=r) return v(x)=max(v(x),v),void();
int mid=l+r>>1;
if(ql<=mid) upd(ql,qr,v,l(x),l,mid);
if(qr>mid) upd(ql,qr,v,r(x),mid+1,r);
}
int query(int p,int x=1,int l=1,int r=n){
if(l==r) return v(x);
int mid=l+r>>1;
v(l(x))=max(v(l(x)),v(x));
v(r(x))=max(v(r(x)),v(x));
if(p<=mid) return query(p,l(x),l,mid);
return query(p,r(x),mid+1,r);
}
#undef l
#undef r
#undef v
}tr;
int dfs(int x){
dep[x]=dep[fa[x]]+1;
dfn[x]=++tot,siz[x]=1;
for(auto p:s[x]) if(p^fa[x])
fa[p]=x,siz[x]+=dfs(p);
return siz[x];
}
bool check(int d){
int cnt=0;
tr.clear();
for(auto x:p)
if(a[x]&&tr.query(dfn[x])<dep[x]){
if((++cnt)>m) return false;
int t=x;for(int i=d;fa[t]&&i--;) t=fa[t];
for(int i=d;t&&i>=0;t=fa[t],i--)
tr.upd(dfn[t],dfn[t]+siz[t]-1,dep[t]+i);
}
return true;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",a+i),p[i-1]=i;
for(int i=1,u,v;i<n;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),
s[u].emplace_back(v),
s[v].emplace_back(u);
dfs(1);int l=0,r=n-1;
sort(p,p+n,[](int x,int y){return dep[x]>dep[y];});
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(check(mid)) r=mid-1;
else l=mid+1;
}printf("%d",r+1);
return 0;
}
P8428
先处理出每个点距离最近的羊的距离。
按深度贪心，发现一个点如果往父亲跳还能覆盖到它，那么一定不劣，分析是类似的。
不过貌似这题要覆盖的点有良好的性质，直接暴力也是对的。
#include<bits/stdc++.h>
#define N 500005
using namespace std;
bool a[N],b[N];
vector<int>s[N],ans;
int n,m,k,f[N],p[N];
int fa[N],dep[N],siz[N],dfn[N];
class Segmentree{
#define l(i) ((i)<<1)
#define r(i) ((i)<<1|1)
#define v(i) tr[i].val
private:
struct xs{
int val;
}tr[N<<2];
public:
void upd(int ql,int qr,int v,int x=1,int l=1,int r=n){
if(ql<=l&&qr>=r) return v(x)=max(v(x),v),void();
int mid=l+r>>1;
if(ql<=mid) upd(ql,qr,v,l(x),l,mid);
if(qr>mid) upd(ql,qr,v,r(x),mid+1,r);
}
int query(int p,int x=1,int l=1,int r=n){
if(l==r) return v(x);
int mid=l+r>>1;
v(l(x))=max(v(l(x)),v(x));
v(r(x))=max(v(r(x)),v(x));
if(p<=mid) return query(p,l(x),l,mid);
return query(p,r(x),mid+1,r);
}
#undef l
#undef r
#undef v
}tr;
int dfs1(int x){
dfn[x]=++m;
f[x]=a[x]?-1:n;
for(auto p:s[x]) if(p^fa[x])
fa[p]=x,f[x]=min(f[x],dfs1(p));
return ++f[x];
}
int dfs2(int x){
siz[x]=1;
dep[x]=dep[fa[x]]+1;
f[x]=min(f[x],f[fa[x]]+1);
for(auto p:s[x])
if(p^fa[x]) siz[x]+=dfs2(p);
return siz[x];
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1,u,v;i<n;i++)
scanf("%d%d",&u,&v),
s[u].emplace_back(v),
s[v].emplace_back(u);
for(int i=1,x;i<=k;i++)
scanf("%d",&x),a[x]=true;
for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
f[0]=n,dfs1(1),dfs2(1);
sort(p+1,p+n+1,[](int x,int y){return dep[x]>dep[y];});
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[p[i]]&&tr.query(dfn[p[i]])<dep[p[i]]){
int t=0;
for(int x=p[i],j=0;f[x]==j;x=fa[x],j++) t=x;
ans.emplace_back(t);
for(int x=t,j=f[t];x&&j>=0;x=fa[x],j--)
tr.upd(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,dep[x]+j);
}
printf("%llu\n",ans.size());
for(auto p:ans) printf("%d ",p);
return 0;
}
等看到新的题再加上去。
