SVPWM - 学习笔记

前提预备 - 数学知识

Clack变换

实际上clack变换就是坐标系的变换，再直白点，就是将三个角度互为120度的向量变成两个角度互为90度的向量

\[\left[ \begin{array}{c} V_{\alpha}\\ V_{\beta}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} V_A-V_B\cos \left( 60^{\circ} \right) -V_C\cos \left( 60^{\circ} \right)\\ V_B\cos \left( 30^{\circ} \right) -V_C\cos \left( 30^{\circ} \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} V_A\\ V_B\\ V_C\\ \end{array} \right] \]

\[\begin{aligned} V_{\delta}&=V_{\alpha}+jV_{\beta}=V_A+V_B\cdot e^{j\cdot 120^{\circ}}+V_c\cdot e^{-j\cdot 120^{\circ}} \\ &=V_A+V_B\cdot \left[ \cos \left( 120^{\circ} \right) +j\sin \left( 120^{\circ} \right) \right] +V_C\cdot \left[ \cos \left( 120^{\circ} \right) -j\sin \left( 120^{\circ} \right) \right] \\ &=V_A-\frac{1}{2}V_B-\frac{1}{2}V_C+j\frac{\sqrt{3}}{2}\left( V_B-V_C \right) \\ &\Rightarrow \\ V_{\alpha}&=V_A-\frac{1}{2}V_B-\frac{1}{2}V_C \\ V_{\beta}&=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( V_B-V_C \right) \end{aligned} \]

\[\left[ \begin{array}{c} V_{\alpha}\\ V_{\beta}\\ \end{array} \right] =\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} V_A\\ V_B\\ V_C\\ \end{array} \right] \]

上面的式子是等幅值变换，也就是在前面乘了2/3

记

\[T_{3s-2s}=\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix} \right] \]

T_{3s-2s}称为Clark变换，它是Edith Clarke 最先针对交流系统电路分析提出的，现在被广泛的应用于三相逆变器的控制中。

等幅值Clark变换与等功率Clark变换可以统一表示为：

\[T_{3s-2s}=k\cdot \left[ \begin{matrix} 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix} \right] \]

其中 K=2/3 为等幅值变换， k=sqrt(2/3) 为等功率变换。

Park变换

Park变换实际上是一个旋转的直角坐标系，原先坐标系的两个向量投影到新的坐标系上

\[\begin{aligned} V_{\delta}&=V_{\alpha}+jV_{\beta}=\left( V_d+jV_q \right) \cdot e^{j\theta} \\ &\Rightarrow \\ V_d+jV_q&=\left( V_{\alpha}+jV_{\beta} \right) \cdot e^{-j\theta} \\ &=\left( V_{\alpha}+jV_{\beta} \right) \cdot \left( \cos \left( \theta \right) -j\sin \left( \theta \right) \right) \\ &=V_{\alpha}\cos \left( \theta \right) +V_{\beta}\sin \left( \theta \right) +j\left[ -V_{\alpha}\sin \left( \theta \right) +V_{\beta}\cos \left( \theta \right) \right] \\ &\Rightarrow \\ \left[ \begin{array}{c} V_d\\ V_q\\ \end{array} \right] &=\left[ \begin{array}{c} V_{\alpha}\cos \left( \theta \right) +V_{\beta}\sin \left( \theta \right)\\ -V_{\alpha}\sin \left( \theta \right) +V_{\beta}\cos \left( \theta \right)\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \left( \theta \right)& \sin \left( \theta \right)\\ -\sin \left( \theta \right)& \cos \left( \theta \right)\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} V_{\alpha}\\ V_{\beta}\\ \end{array} \right] \end{aligned} \]

其中

\[T_{2s-2r}=\left[ \begin{matrix} \cos \left( \theta \right)& \sin \left( \theta \right)\\ -\sin \left( \theta \right)& \cos \left( \theta \right)\\ \end{matrix} \right] \]