【简介】
解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。
【原理】
原理和同样是使用倍增思想的RMQ-ST 算法类似,比较简单,想清楚后很容易实现。
对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2k个祖先是谁。很容易就想到递推式: ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1]; 根据二进制原理,理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到,这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
查询LCA(u,v)的时候:
(一)u和v所在的树的层数如果一样,令u'=u。否则需要平衡操作(假设u更深),先找到u的一个祖先u', 使得u'的层数和v一样,此时LCA(u,v)=LCA(u',v) 。证明很简单:如果LCA(u,v)=v , 那么u'一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ,k!=v ,那么k 的深度一定小于 v , u、u'、v 一定在k的子树中;综上所述,LCA(u,v)=LCA(u',v)一定成立。
(二)此时u' 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠,重叠部分的最后一个元素(也就是深度最深,与u'、v最近的元素)就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k,LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想,先尽可能跳到最上层的祖先,如果两祖先相等,说明完全可以跳小点,跳的距离除2,这样一步步跳下去一定可以找到k。
1. DFS预处理出所有节点的深度和父节点
inline void dfs(int u)
{
int i;
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
{
if (!deep[to[i]])
{
deep[to[i]] = deep[u]+1;
p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父节点为u;
dfs(to[i]);
}
}
}
2. 初始各个点的2^j祖先是谁 ,其中 2^j (j =0...log(该点深度))倍祖先,1倍祖先就是父亲,2倍祖先是父亲的父亲......。
void init()
{
int i,j;
//p[i][j]表示i结点的第2^j祖先
for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(i=1;i<=n;i++)
if(p[i][j-1]!=-1)
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先
}
3.从深度大的节点上升至深度小的节点同层,如果此时两节点相同直接返回此节点,即lca。
否则,利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j],此时他们的父亲p[a][0]即lca。
int lca(int a,int b)//最近公共祖先
{
int i,j;
if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);
i--;
//使a,b两点的深度相同
for(j=i;j>=0;j--)
if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])
a=p[a][j];
if(a==b)return a;
//倍增法,每次向上进深度2^j,找到最近公共祖先的子结点
for(j=i;j>=0;j--)
{
if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
{
a=p[a][j];
b=p[b][j];
}
}
return p[a][0];
}
附上题解:
1 #define N 50100
2 #include<iostream>
3 using namespace std;
4 #include<cstdio>
5 #include<cstring>
6 #define L 17
7 struct Edge{
8 int v,last,c;
9 }edge[N*6];
10 int head[N],p[N][L];
11 int deep[N]={0};
12 int root[N]={0};
13 long long dis[N]={0};
14 int n,m,u,v,c,t=0;
15 void add_edge(int u,int v,int w)
16 {
17 ++t;
18 edge[t].v=v;/*建边*/
19 edge[t].c=w;
20 edge[t].last=head[u];
21 head[u]=t;
22 //root[u]++;
23 }
24 void input()
25 {
26 scanf("%d",&n);
27 for(int i=1;i<n;++i)
28 {
29 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
30 add_edge(u,v,c);
31 add_edge(v,u,c);
32 }
33 memset(p,-1,sizeof(p));/*因为节点编号是从0开始的,所以把祖先不存在,设为-1*/
34 }
35 void dfs(int u,long long di)
36 {
37 dis[u]=di;/*统计u到根节点的距离*/
38 for(int l=head[u];l;l=edge[l].last)
39 {
40 if(!deep[edge[l].v])
41 {
42 deep[edge[l].v]=deep[u]+1;/*处理孩子的深度*/
43 p[edge[l].v][0]=u;/*初始化p数组*/
44 dfs(edge[l].v,di+edge[l].c);
45 }
46 }
47 }
48 void init()
49 {
50 int i,j;
51 for(j=1;(1<<j)<n;j++)
52 for(int i=0;i<n;++i)
53 if(p[i][j]=-1)
54 p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];/*DP处理出i的所有2^j祖先是谁*/
55 }
56 int lca(int a,int b)/*求最近公共祖先*/
57 {
58 int i,j;
59 if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b);
60 for(i=0;(1<<i)<=deep[a];++i);
61 i--;/*i为估计a到根节点的最远距离,下边的平衡操作,跳点从i开始,一定可以实现*/
62 for(j=i;j>=0;--j)
63 if(deep[a]-deep[b]>=(1<<j))/*倍增缩短a与b之间的距离*/
64 a=p[a][j];
65 if(a==b) return a;/*当a和b到了同一深度的时候,判断是否已经相同了*/
66 for(int j=i;j>=0;--j)
67 {
68 if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
69 {
70 a=p[a][j];/*最终的a是lca的子节点*/
71 b=p[b][j];
72 }
73
74 }/*先大步大步的蹦,每蹦一步,路程减少,下次蹦前一次的一半,直到蹦不了了,就是答案*/
75 return p[a][0];
76 }
77 /*当a有祖先,并且a,b的祖先不相同的时候,(我们想要寻找的就是lca的子节点,也就是最小深度的p[a][j]!=p[b][j]),根据二进制原理,一定可以通过各种组合走到每一个祖先*/
78 int main()
79 {
80 input();
81 dfs(0,0);/*题目意思是0为根节点*/
82 /*for(int i=0;i<n;++i)
83 {
84 if(root[i]==2)
85 {
86 dfs(i,0);/*如果是一棵二叉树,可以统计出度为2的点是根节点*/
87 break;
88 }
89 }*/
90 init();
91 scanf("%d",&m);
92 while(m--)
93 {
94 scanf("%d%d",&u,&v);
95 int zu=lca(u,v);/*在线算法,可以按照顺序查询*/
96 cout<<dis[u]+dis[v]-2*dis[zu]<<endl;/*求最近距离的公式*/
97 }
98 return 0;
99 }