最近公共祖先 LCA 倍增法
【简介】
解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。
【原理】
原理和同样是使用倍增思想的RMQ－ST 算法类似,比较简单，想清楚后很容易实现。
对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2k个祖先是谁。很容易就想到递推式： ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1]; 根据二进制原理，理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到，这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
查询LCA(u,v)的时候：
（一）u和v所在的树的层数如果一样，令u'=u。否则需要平衡操作（假设u更深），先找到u的一个祖先u', 使得u'的层数和v一样，此时LCA(u,v)=LCA(u',v) 。证明很简单：如果LCA(u,v)=v , 那么u'一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ，k!=v ，那么k 的深度一定小于 v ， u、u'、v 一定在k的子树中；综上所述，LCA(u,v)=LCA(u',v)一定成立。
（二）此时u' 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠，重叠部分的最后一个元素（也就是深度最深，与u'、v最近的元素）就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k，LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想，先尽可能跳到最上层的祖先，如果两祖先相等，说明完全可以跳小点，跳的距离除2，这样一步步跳下去一定可以找到k。
【hdu 2586】
需要注意的是超界的处理。
1 #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") 2 #include <stdio.h> 3 #include <string.h> 4 #include <vector> 5 #include <cmath> 6 #include <iostream> 7 using namespace std; 8 int n,m; 9 struct edge 10 { 11 int d,v,next; 12 edge(){} 13 edge(int _d,int _v,int _next) 14 { 15 d=_d;v=_v;next=_next; 16 } 17 }data[80003]; 18 int map[40003]; 19 int pool; 20 void addedge(int s,int e,int v) 21 { 22 int t=map[s]; 23 data[pool++]=edge(e,v,t); 24 map[s]=pool-1; 25 } 26 int ANCLOG; 27 int depth[40003]; 28 int ifv[40003]; 29 int dis[40003]; 30 int anc[40003][17]; 31 void dfs(int cur,int dep) 32 { 33 ifv[cur]=1; 34 depth[cur]=dep; 35 int p=map[cur]; 36 while (p!=-1) 37 { 38 if (!ifv[data[p].d]) 39 { 40 dis[data[p].d]=dis[cur]+data[p].v; 41 anc[data[p].d][0]=cur; 42 dfs(data[p].d,dep+1); 43 } 44 p=data[p].next; 45 } 46 } 47 void initLCA() 48 { 49 for (int k=1;k<ANCLOG;++k) 50 for (int i=0;i<n;++i) 51 { 52 if (anc[i][k-1]==-1) continue; 53 anc[i][k]=anc[anc[i][k-1]][k-1]; 54 } 55 } 56 int getLCA(int u,int v) 57 { 58 if (depth[u]<depth[v]) swap(u,v); 59 for (int k=ANCLOG;k>=0;--k) 60 { 61 if (anc[u][k]==-1) continue; 62 if (depth[anc[u][k]]>=depth[v]) 63 { 64 u=anc[u][k]; 65 if (depth[u]==depth[v]) break; 66 } 67 } 68 if (u==v) return u; 69 for (int k=ANCLOG;k>=0;--k) 70 { 71 if (anc[u][k]==-1) continue; 72 if (anc[u][k]!=anc[v][k]) 73 { 74 u=anc[u][k]; 75 v=anc[v][k]; 76 } 77 } 78 return anc[u][0]; 79 } 80 int main() 81 { 82 int T; 83 scanf("%d",&T); 84 while (T--) 85 { 86 pool=0; 87 memset(anc,-1,sizeof anc); 88 memset(map,-1,sizeof map); 89 memset(ifv,0,sizeof ifv); 90 scanf("%d%d",&n,&m); 91 ANCLOG=(int)(log(n)/log(2.0)); 92 int s,e,v; 93 for (int i=0;i<n-1;++i) 94 { 95 scanf("%d%d%d",&s,&e,&v); 96 addedge(s-1,e-1,v); 97 addedge(e-1,s-1,v); 98 } 99 dis[0]=0; 100 dfs(0,0); 101 initLCA(); 102 for (int i=0;i<m;++i) 103 { 104 int u,v; 105 scanf("%d%d",&u,&v); 106 --u;--v; 107 int k=getLCA(u,v); 108 k=dis[u]+dis[v]-2*dis[k]; 109 printf("%d\n",k); 110 } 111 } 112 }
