[ARC133D] Range XOR 题解

牛逼逼题。

我们先考虑没有 \(l\le r\) 的限制的情况，先做个前缀和，即 \(s_i=\displaystyle\oplus_{i=0}^ni\)，那么要统计的东西就变成了：

\[\sum_{l=L-1}^{R-1}\sum_{r=L}^R[s_l\oplus s_r=v] \]

但我们会发现这玩意没有对称性，很蛋疼，于是考虑强行把区间拉平得到

\[\sum_{l=L-1}^{R}\sum_{r=L-1}^R[s_l\oplus s_r=v] \]

考虑这玩意多算了那些东西，可以发现，我们多算的部分是 \(l=r\) 的部分（对应到一开始的式子不是合法情况），去掉这一部分后，我们会发现我们会同时统计 \((l,r)\) 与 \((r,l)\)，因此再除以 \(2\) 就得到了我们要的东西。

考虑做个前缀和，设

\[S(n,m)=\sum_{l=0}^n\sum_{r=0}^m[s_l\oplus s_r=v] \]

那么我们要求的东西就变成了 \(S(R,R)-2S(L-2,R)+S(L-2,L-2)\)，考虑如何求 \(S(n,m)\) 即可。

考虑 \(s_i\) 的计算，可以发现如下事实：

s[------00] =        0^------00 = ------00
s[------01] = ------00^------01 = 1
s[------10] =        1^------10 = ------11
s[------11] = ------11^------11 = 0

因此，我们有：

\[s_i=\begin{cases} i & i\equiv0\pmod 4\\ 1 & i\equiv1\pmod 4\\ i+1 & i\equiv2\pmod 4\\ 0 & i\equiv3\pmod 4 \end{cases} \]

可以发现，对于 \(l\equiv 1,3\pmod 4\) 或 \(r\equiv 1,3\pmod 4\) 的情况，由于 \(s_{l/r}\) 为常量，故可以直接计算。

可以发现当确定末两位后可以直接删掉后两位，那么就没有模 \(4\) 的限制了。

对于剩下的内容，等价于求

\[\sum_{l=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\sum_{r=0}^{\lfloor m/4\rfloor}[l\oplus r=\lfloor v/4\rfloor] \]

而这是一个 trivial 的数位 dp，硬冲就完了。

时间复杂度 \(O(\log n)\)