杂题瞎做

\(\color{green}\bigstar\) 表示独立做出，\(\color{red}\blacksquare\) 表示查看题解/群里问了大佬做出。

ARC058D

\(\color{green}\bigstar\)

题意

有一个 \(H\) 行 \(W\) 列的网格，由 \((x,y)\) 只能走到 \((x+1,y)\) 和 \((x,y+1)\)，所有 \((H-A+1\le x\le H,1\le y\le B)\) 的格子不能进入，问从 \((1,1)\) 到 \((H,W)\) 有多少种方案。答案对 \(10^9+7\) 取模。

\(1\le A<H\le 10^5\)，\(1\le B<W\le 10^5\)

思路

考虑把路径拆成两部分：\((1,1)\to(H-A,i)\to(H,W)\)，其中 \(B+1\le i\le W\)。

对于第一部分，由于 \(x\) 的增量为 \(H-A-1\)，\(y\) 的增量为 \(i-1\)，方案数即为 \(\displaystyle{(H-A-1)+(i-1)\choose H-A-1}\)。

对于第二部分，我们强制第一步由 \((H-A,i)\) 走到 \((H-A+1,i)\)，套用上面的方法，得到方案数为 \(\displaystyle{(A-1)+(W-i)\choose A-1}\)，那么 \(i\) 的贡献即为 \(\displaystyle{(H-A-1)+(i-1)\choose H-A-1}{(A-1)+(W-i)\choose A-1}\)，直接计算即可，时间复杂度 \(O(H+W)\)。

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CF1796C

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

对于一个集合，如果对于其中的任意两个数 \(x\le y\)，都有 \(x\mid y\)，则我们把此集合称作“好集合”。

给你一个区间 \([l,r]\)，问集合元素均在此区间内的“好集合”最大大小与达到最大大小的“好集合”数量。后一问对 \(998244353\) 取模。

多组询问，\(1\le T\le 2\times 10^4,1\le l\le r\le 10^6\)。

思路

首先显然“好集合”的定义等价于从小到大排列后相邻两个数为倍数关系。

那么为了让“好集合”大小尽可能大，我们肯定是从 \(l\) 开始，不断地乘 \(2\)，直到超过 \(r\)，设 \(k\) 为最大的满足 \(l\times 2^k\le r\) 的数，有 \(k=\log_2(\dfrac{r}{l})\)，则第一问答案即为 \(k+1\)（算上 \(l\) 本身）

考虑第二问，可以发现，对于大小相邻两个数的倍率最多为 \(3\)，因为如果倍率为 \(4\) 的话，我们一定可以把其拆成两次乘 \(2\) 操作，显然更优。

故考虑枚举总倍率 \(v=2^{k-i}\times 3^i\)，则初始数的最大值为 \(\lfloor\dfrac{r}{v}\rfloor\)，可选值数量即为 \(\lfloor\dfrac{r}{v}\rfloor-l+1\)，而因为我们可以随意分配 \(\times 3\) 的位置，所以又有额外的 \(\displaystyle{k\choose i}\) 种方案，暴力枚举 \(i\) 即可，时间复杂度 \(O(T\log r)\)。

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CF1799C

\(\color{green}\bigstar\)

题意

给你一个字符串 \(s\)，求重排 \(s\) 的字符后 原串与反串的字典序最大的那个 字典序最小的字符串。

思路

由于可以任意重排 \(s\)，故我们可以先排序，然后遍历，依此处理。

若当前遍历到了 \(s_i\)，分类讨论：

• 若 \(i=n\)：

  直接将其加入答案串中即可。

• 若 \(s_i=s_{i+1}\)：

  显然将这两个字符加入答案串左右两端最优（因为后面的字符都不小于它）

• 若 \(s_i\ne s_{i+1}\)：

  • 若之后的字符串中仅出现了 \(s_{i+1}\)：

    那么可以把 \(s_{i}\) 放在之后的字符串的中间后插入答案串，例如 aaabaaa 这样肯定是最优的（因为移动 \(b\) 会导致 原串与反串的最大字典序 变大，必定变劣）

  • 若之后的字符串还出现了其他字符：

    那么由于后面的字符单调不降，我们将 \(s_{i+1}\) 放在前面，\(s_i\) 放在后面，那么字典序更大的肯定是原串（因为前面的字符都相等），故我们把剩下的字符按不降序插入中间即可。

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CF1789C

\(\color{green}\bigstar\)

题意

给一个长度为 \(n\) 的序列 \(A_0\)，有 \(m\) 次操作，第 \(i\) 次操作会把 \(A_{i-1}\) 的第 \(p_i\) 个元素修改为 \(v_i\)，将结果存在 \(A_i\) 里面。问对于所有 \(i<j\)，\(A_i\) 与 \(A_j\) 数的种数的和是多少。保证 \(A_i\) 里面的数两两不同。

多组询问，\(1\le T\le 10^4,1\le n,m\le 2\times 10^5,1\le A_{i,j},v_i\le n+m,1\le p_i\le n\)。

思路

直接统计不重数量较为困难，考虑统计重复数的数量，容斥一下即是答案。

考虑对每个数计算它的出现次数，对一个数 \(i\)，由于 \(A_i\) 里面的数两两不重，考虑维护数 \(i\) 现在是在哪一步出现的，记作 \(l_i\)，初始时 \(l_{A_{0,i}}=0\)。那么对于一次修改操作，数 \(A_{i-1,p_i}\) 消失，对 \(A_{i-1,p_i}\) 的出现次数产生 \(i-l_{A_{i-1,p_i}}\) 的贡献，接着，由于 \(v_i\) 出现，我们将 \(l_{v_i}\) 设为 \(i\) 即可。

注意最后要处理一下尚未消失的数的贡献，为 \(m+1-l_i\)。那么答案即为 \(\displaystyle mn(m+1)-\sum_{i=1}^{n+m}\dfrac{c_i(c_i-1)}{2}\)，其中 \(c_i\) 为数 \(i\) 的出现次数。

code

CF1800F

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

有 \(n\) 个仅含小写字母的字符串 \(s_i\)，对于一对下标 \(1\le i\le j\le n\)，设 \(t\) 表示 \(s_i\) 和 \(s_j\) 顺次拼接的结果，它合法当且仅当：

• \(|t|\equiv 1\pmod 2\)
• \(t\) 中正好有 \(25\) 个不同的字母
• 每个在 \(t\) 中出现的字母必定出现奇数次

问合法的下标对数。

\(1\le n\le 2\times 10^5,\displaystyle\sum|s_i|\le 5\times 10^6\)

思路

首先第一个约束是没用的，因为只要满足后面两个条件，第一个条件就必然满足。

由于一共只有 \(26\) 个不同的字母，考虑枚举哪个字母没有出现，而出现奇数次可以想到异或，那么对于一个字符串 \(s_i\)，维护字母出现情况与字母出现次数的奇偶性即可，可以使用 bitset+map，时间复杂度 \(O(cn\dfrac{c}{w}\log n)\)。

code

ABC292G

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

给你 \(n\) 个长为 \(m\) 且仅由数字和 ? 组成的字符串，问有多少种将所有 ? 替换成数字的方案，使得在字典序上满足 \(S_i<S_{i+1}\)。

思路

好题。

设 \(f_{l,r,c}\) 表示对于区间 \([l,r]\) 内的 \(S_i\)，钦定前 \(c\) 位相等且满足条件的方案数。

那么考虑第 \(c+1\) 位。设 \(g_{i,v}\) 表示对于区间 \([l,i]\)，\(S_i\) 的第 \(c+1\) 位填的数不超过 \(v\) 的方案数。

那么可以枚举最后一个相同段 \([j,i]\) 满足 \(S_j\) 的第 \(c+1\) 位要么是 ? 要么是同一个数，直接由 \(g_{j-1,v-1}\) 转移至 \(g_{i,v}\) 即可。

注意特判当前段全为 ? 的情况，此时可以填任意数。

答案即为 \(f_{1,n,0}\)，可以使用记忆化搜索。

code

ARC133D

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

求

\[\sum_{l=L}^R\sum_{r=l}^R[(\oplus_{i=l}^ri)=v] \]

对 \(998244353\) 的值。

\(1\le L\le R\le 10^{18},1\le v\le 10^{18}\)

思路

牛逼逼题。

我们先考虑没有 \(l\le r\) 的限制的情况，先做个前缀和，即 \(s_i=\displaystyle\oplus_{i=0}^ni\)，那么要统计的东西就变成了：

\[\sum_{l=L-1}^{R-1}\sum_{r=L}^R[s_l\oplus s_r=v] \]

但我们会发现这玩意没有对称性，很蛋疼，于是考虑强行把区间拉平得到

\[\sum_{l=L-1}^{R}\sum_{r=L-1}^R[s_l\oplus s_r=v] \]

考虑这玩意多算了哪些东西，可以发现，我们多算的部分是 \(l=r\) 的部分（对应到一开始的式子不是合法情况），去掉这一部分后，我们会发现我们会同时统计 \((l,r)\) 与 \((r,l)\)，因此再除以 \(2\) 就得到了我们要的东西。

考虑做个前缀和，设

\[S(n,m)=\sum_{l=0}^n\sum_{r=0}^m[s_l\oplus s_r=v] \]

那么我们要求的东西就变成了 \(S(R,R)-2S(L-2,R)+S(L-2,L-2)\)，考虑如何求 \(S(n,m)\) 即可。

考虑 \(s_i\) 的计算，可以发现如下事实：

s[------00] =        0^------00 = ------00
s[------01] = ------00^------01 = 1
s[------10] =        1^------10 = ------11
s[------11] = ------11^------11 = 0

因此，我们有：

\[s_i=\begin{cases} i & i\equiv0\pmod 4\\ 1 & i\equiv1\pmod 4\\ i+1 & i\equiv2\pmod 4\\ 0 & i\equiv3\pmod 4 \end{cases} \]

可以发现，对于 \(l\equiv 1,3\pmod 4\) 或 \(r\equiv 1,3\pmod 4\) 的情况，由于 \(s_{l/r}\) 为常量，故可以直接计算。

可以发现当确定末两位后可以直接删掉后两位，那么就没有模 \(4\) 的限制了。

对于剩下的内容，等价于求

\[\sum_{l=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\sum_{r=0}^{\lfloor m/4\rfloor}[l\oplus r=\lfloor v/4\rfloor] \]

而这是一个 trivial 的数位 dp，硬冲就完了。

时间复杂度 \(O(\log n)\)

code

ABC276G

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

青蛙。

思路

考虑差分，设 \(d_i=a_i-a_{i-1}\)，特别的，\(d_1=a_1\)，那么约束就变成了

1. \(\displaystyle\sum d_i\le m\)。
2. 对所有 \(i>1\) 有 \(d_i\not\equiv 0\pmod 3\)。

发现 \(d_1\) 非常特殊，于是可以单独考虑 \(d_1\equiv 0\pmod 3\)。以下设 \(d_1\not\equiv 0\pmod 3\)，\(d_1\equiv 0\pmod 3\) 同理。

那么 \(d_i\) 只能是 \(3k+1\) 或 \(3k+2\) 的形式。考虑枚举形如 \(3k+2\) 的 \(d_i\) 的数量，设其为 \(c\)，那么 \(3k+1\) 形式的数的数量即为 \(n-c\)，方案数为 \(\displaystyle{n\choose c}\)。于是剩下的步骤相当于将不超过 \(\lfloor\dfrac{m-2c-(n-c)}{3}\rfloor\) 组物品放置在 \(n\) 个箱子内，这玩意可以插板+前缀和预处理。

code

ABC295Ex

\(\color{red}\blacksquare\)

状压 dp，2 hd 4 me/ng。

题意

开始你有一个全 \(0\) 矩阵，你可以随意执行如下操作：

• 选择任意一行，将其从最左端开始的连续一段染成 \(1\)。
• 选择任意一列，将其从最上端开始的连续一段染成 \(1\)。

如果一个矩阵可以由此得到，那么这个矩阵被称为好的。

现在你有一个 01? 矩阵 \(a\)，你需要将所有 ? 替换为 0 或 1，问得到的矩阵中有多少个是好的。答案对 \(998244353\) 取模。

\(1\le n,m\le 18\)。

思路

可以发现一个矩阵是否合法取决于对每个格子而言，其上方或左方是否有一方仍是全 \(1\) 段。

于是考虑设 \(f_{(i,j),k=0/1,s}\) 表示现在处理完了 \((i,j)\)，列状态为 \(s\)（列状态指目前 \(m\) 列里每一列是否仍为全 \(1\) 段），行状态为 \(k\)（即当前行是否仍为全 \(1\) 段）。

初始状态为 \(f_{(1,0),1,\text{full}}=1\)，即啥都没填的情况。

对当前状态 \(f_{(i,j),k,s}\)，我们分类讨论：

格子不在行末

那么下一个格子即为 \((i,j+1)\)，我们继续分类讨论：

• \(a_{i,j+1}=0\)：那么第 \(j+1\) 列的列状态则变成 \(0\)，第 \(i\) 行的行状态变为 \(0\)，即 \(f_{(i,j),k,s}\to f_{(i,j+1),0,s_{j+1}\gets 0}\)。
• \(a_{i,j+1}=1\)：要求当前行状态与第 \(j+1\) 列的列状态不能全为 \(0\)，转移方程为 \(f_{(i,j),k,s}\to f_{(i,j+1),k,s}\)。
• \(a_{i,j+1}=\text{?}\)：综合上面两种情况即可。

格子在行末

可以发现这种情况相当于将 \((i,j)\) 移到了下一行的 \((i+1,0)\)，重置行状态，然后按 \(j<m\) 做即可。

最终答案即为 \(\displaystyle\sum_{i}\sum_{j}f_{(n,m),i,j}\)。

code

CF123E

\(\color{red}\blacksquare\)

题意

简述题意：给你一棵树，每个点有一个被选为起点的概率和一个被选为终点的概率，从起点开始随机遍历子树，问到达终点的期望步数。

思路

直接计算答案很难，考虑对一对 \((S,T)\) 来说，以 \(S\) 为根，那么有：

• 对 \(T\) 的子树里的点：显然不会被遍历到，贡献为 \(0\)。
• 对 \(S\to T\) 路径上的点：显然会被刚好遍历 \(1\) 次，贡献为 \(1\)。
• 对不在上述两种情况中的点：设其为 \(x\)，当我们遍历到 \(x\) 和 \(T\) 的分界点时，我们有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率往 \(x\) 的方向走，此时贡献为 \(2\)（往返）；同时也有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率往 \(T\) 的方向走，此时贡献为 \(0\)。故总贡献为 \(\dfrac{1}{2}\times 2+\dfrac{1}{2}\times 0=1\)。

那么问题就变成了求对每一对 \((S,T)\)，以 \(S\) 为根，\(n-s'_T\) 的期望（\(s'_T\) 表示 \(T\) 在以 \(S\) 为根的情况下的子树大小）。

首先任选一个根，考虑枚举 \(T\)，那么有以下几种情况：

• \(S=T\)：那么 \(s'_T\) 显然为 \(n\)。
• \(S\) 在 \(T\) 的子树里：那么 \(s'_T\) 即为所有点去掉 \(S\) 所在的那棵子树，设 \(S\) 所在的那棵子树的根为 \(p\)，那么 \(s'_T=n-s_p\)。
• \(S\) 不在 \(T\) 的子树里：那么 \(s'_T\) 即为 \(s_T\)。

我们可以 \(O(n)\) 遍历整棵树来计算 \(s_T\) 以及 \(S\) 在 \(T\) 的子树中的概率，直接计算即可。

code