数论：小朋友们，我们今天来找规律

\(60\) 分钟，干出来 \(30\) 至 \(40\) 分（满分 \(50\)），最后一步没写出来还是有点 rz.

题目：
求最小的整数 \(n\)，使得对至少两个不同的奇素数 \(p\)，有

\[\sum_{k=1}^{n}(-1)^{v_p(k!)}<0. \]

解：

根据 \(v_p\) 函数的性质，可以对所有正整数进行规律性地分块，每块中的 \(v_p\) 值都是相同的：除了第一个块有 \(p-1\) 个数，其他块都有 \(p\) 个数.

对 \(p\) 的倍数 \(m\)，如果 \(v_p(m)\) 是偶数，则该数所在的块对总和产生的贡献和前一块相同；若是奇数，则和前一块相反.

我们先来看 \(n<p^2\) 的情况：显然每一块的贡献分别是 \(p-1, -p, p, -p, p, \cdots, -p, p\)，故当 \(n=mp-1\)，\(m\) 为偶数时总和是负数.

接着讨论 \(p^2 \leq n < p^3\) 的情况，发现这样的 \(n\) 不存在.

讨论 \(p^3 \leq n < 2 \cdot p^3\) 的情况，发现 \(n\) 符合条件当且仅当 \(n=2p^2-mp-1\)，\(m\) 为 不大于 \(p\) 的偶数.

我们猜想这道题的答案不是很大. 如果你算到了之后的情况，那你就是纯纯的 无效思考 浪费时间.

之后就可以枚举各个小素数，容易发现 \(n=229=2\cdot 5^3-4\cdot 5 - 1= 10\cdot 23 - 1\) 最小.

出处： 2022 年 2 月 HMMT 代数与数论第 10 题.

评价： 还行，但是我脑子有毛病，最后一步去解不定方程.

妈妈，我要学数论！