数论习题(2) Legendre公式+高斯函数

本人独自证明，可能存在一定疏漏.

题目：

\[m!n!(m+n)! \mid (2m)!(2n)!. \]

证明：

对于每个素数 \(p\)，考察式子两边的 \(p\) 进赋值，即证

\[v_p((2m)!(2n)!)\geq v_p(m!n!(m+n)!). \]

根据 \(p\) 进赋值的基本性质 与 Legendre 公式，有

\[\begin{align*} v_p((2m)!(2n)!) &= v_p((2m)!) + v_p((2n)!) \\ &= \sum_{k\geq1}\lfloor\frac{2m}{p^k}\rfloor + \sum_{k\geq1}\lfloor\frac{2n}{p^k}\rfloor \\ &= \sum_{k\geq1}(\lfloor\frac{2m}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{2n}{p^k}\rfloor), \end{align*} \]

同理，有

\[v_p(m!n!(m+n)!) = \sum_{k\geq1}(\lfloor\frac{m}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{m+n}{p^k}\rfloor). \]

显然，如果对于任意 \(k \geq 1\) 都有

\[\lfloor\frac{2m}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{2n}{p^k}\rfloor \geq \lfloor\frac{m}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor + \lfloor\frac{m+n}{p^k}\rfloor, \]

则原命题成立. 设 \(x =\frac{m}{p^k}, y =\frac{n}{p^k}\)，则证

\[\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor \geq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor x+y \rfloor, \]

变形得

\[2 \lfloor x \rfloor + 2 \lfloor y \rfloor + [x \geq 0.5] + [y \geq 0.5] \geq 2 \lfloor x \rfloor + 2 \lfloor y \rfloor + [x + y \geq 1], \]

化简得

\[[x \geq 0.5] + [y \geq 0.5] \geq [x + y \geq 1]. \]

若右边为真（\(1\)），则左边至少有一个为真；若右边为假（\(0\)），左边非负，也是成立的.

得证.