[leetcode] Minimum Path Sum

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example:

Input:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
Output: 7
Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

---

 分析：题目意思也很简单，从左上角到右下角，只能往右和下走，要求从找一条路使得路径上和最小。

很明显使用动态规划来求解，下面就来做动态规划三要素：

1、dp[i][j]代表走到[i][j]位置路径和最小的和

2、边界条件初始化：

dp[0][0] = grid[0][0]

dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

3、状态转移方程：可以这么考虑，因为只能向右向下，因此到第[i][j]位置只能有两条路，只要找到这两个路最小的那个就可以了。

dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + grid[i][j]

所以代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int M = grid.length;
        int N = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[M][N];

        dp[0][0] = grid[0][0];
        for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ) dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
        for ( int i = 1 ; i < M ; i ++ ) dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];

        for ( int i = 1 ; i < M ; i ++ ){
            for ( int j = 1 ; j < N ; j ++ ){
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[M-1][N-1];

    }
}

  运行时间6ms。

这个题目还是比较简单的，之前面试滴滴也遇到过。上次面试接着又问了一个有深度的问题：现在问题变成从左上角到右下角再回到左上角，要求找这个闭环的路径和最小值，要求不能有重复。

比如上面的例题，最后应该是找到1→3→1→1→1→2→4→1→1。

正确的思路：正确的理解，相当于从左上角到右下角，找两个路径，这两个路径和是最小和次小。因此使用四维dp，（i,j）（p,q），每一个状态转移的时候都有四个参数要更新。（i,j）用来记录最小的路径，（p,q）用来记录次小的路径，这里要注意找次小的时候要去掉最小的路径。

四维dp是非常麻烦的，下面如何简化，也就是降维呢？这里注意到（i,j）（p,q）的关系：i+j==p+q。有了这个关系，就可以把四维dp降到三维dp，相对就比较好做了。

面试应该说出思路就好了，代码还是太繁琐了。。。