contest739E. Gosha is hunting 题解报告

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题意：

现在一共有 \(n\) 只神奇宝贝。
你有 \(a\) 个『宝贝球』和 \(b\) 个『超级球』。
『宝贝球』抓到第 \(i\) 只神奇宝贝的概率是 \(p_i\)，『超级球』抓到的概率则是 \(u_i\)。
不能往同一只神奇宝贝上使用超过一个同种的『球』，但是可以往同一只上既使用『宝贝球』又使用『超级球』（都抓到算一个）。
请合理分配每个球抓谁，使得你抓到神奇宝贝的总个数期望最大，并输出这个值。
\(n \leq 2000\)。

分析：

一开始陷入误区：我令每个B元素的贡献值减去mid，以此来约束B的选取数量。然而这样做的话，只需要选择所有贡献大于0的B即可，而且最后也不能通过将截距加上k*b来计算真实结果（也就是，这时的“切线”不是一条直线！）。

真正的做法应该是：每选取一个指定的元素，最终的结果都要减去mid，依次来约束选取数量。这和上一种定义是截然不同的，我们不能贪心地选取B，而必须进行动态规划。联想一下tree那道题，对那题而言无论哪种定义，结果都是一样的，所有才能把开销直接附加在贡献值上。

wqs二分需要在贡献相同的情况下，规定尽量多选和尽量少选。因此每个属性都要定义偏序关系。
在偏序关系上，我尚不太理解这一题。这是对标准代码的解释：

要确定过程中是尽量用更少的球还是更多的球，这样二分时才能在多点共线的情况下确定如何调整并记录答案
这里写的是尽量用更少的球，也就是小于号（不取等），实际上另一种也可以，不过二分里面就要改

但我并没有想明白，这样在check中是如何保证这样的偏序关系的。
个人猜测，由于我固定了每次check的转移顺序（无论if的具体顺序），因此最后实际上具备了偏序关系（我们要保证的，无非就是当斜率增大时，切点横坐标一定随之增大或减小）。

在应用wqs二分套wqs二分时，我发现：
if(mid<=a) l=mid; else r=mid;
对于上式，目的就是取得a这个值，但有时用<时取r，和用<=取l，结果居然不一样（我有30%的把握怀疑，这就是因为偏序关系模糊导致的）。
这个问题，我是这样解决的：对于内部的wqs二分，当其取得a时，便立即退出。

if(mid==a)
  break;

对外部的也可以，或者说，对wqs二分，达到指定值后就可以退出，因为共线的点的真实值是可以由斜截式直接算出来的。
另外，wqs二分套wqs二分，所需的精度会升级，这里我开了1e-8。

代码：

\(O(n^2logn)\)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int maxn=2005;
const double eps=1e-6;

int n,a,b;
double p[maxn],q[maxn];

double res;
double dp[maxn][maxn];
int cnt[maxn]; //用cnt滚动地记录转移时的约束使用数量

int check(double x)
{
	for(int i=0;i<=a;++i)
		cnt[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=a;j>=0;--j)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(dp[i][j]<=dp[i-1][j]+q[i]-x){
				dp[i][j]=dp[i-1][j]+q[i]-x;
				cnt[j]=cnt[j]+1;
			}
			if(j==0) continue;
			if(dp[i][j]<=dp[i-1][j-1]+p[i]){
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+p[i];
				cnt[j]=cnt[j-1];
			}
			if(dp[i][j]<=dp[i-1][j-1]+p[i]+q[i]-p[i]*q[i]-x){
				dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+p[i]+q[i]-p[i]*q[i]-x;
				cnt[j]=cnt[j-1]+1;
			}
		}
	}
	res=dp[n][a];
	// cout<<x<<" "<<cnt[a]<<" "<<res<<endl;
	return cnt[a];
}

int main()
{
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>a>>b;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>q[i];
	double l=-1,r=1;
	while(r-l>eps)
	{
		double mid=(r+l)/2;
		if(check(mid)<=b)
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	check(r);
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<res+r*b;
}

\(O(n(logn)^2)\) wqs二分套wqs二分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const int maxn=2005;
const double eps=1e-8;

int n,a,b;
double p[maxn],q[maxn];

double res;
double dp[maxn];

pair<int,int> check(double x,double y)
{
	int ca=0,cb=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		dp[i]=dp[i-1];
		int ta=ca,tb=cb;
		if(dp[i]<dp[i-1]+p[i]-x){
			dp[i]=dp[i-1]+p[i]-x;
			ta=ca+1; tb=cb;
		}
		if(dp[i]<dp[i-1]+q[i]-y){
			dp[i]=dp[i-1]+q[i]-y;
			tb=cb+1; ta=ca;
		}
		if(dp[i]<dp[i-1]+p[i]+q[i]-p[i]*q[i]-x-y){
			dp[i]=dp[i-1]+p[i]+q[i]-p[i]*q[i]-x-y;
			ta=ca+1; tb=cb+1;
		}
		ca=ta;
		cb=tb;
	}
	res=dp[n];
	return {ca,cb};
}

int main()
{
	cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>a>>b;
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;++i) cin>>q[i];
	double la=-1,ra=1;
	double lb=-1,rb=1;
	pair<int,int> ret;
	while(ra-la>eps)
	{
		double ma=(ra+la)/2;
		lb=-1,rb=1;
		while(rb-lb>eps)
		{
			double mb=(rb+lb)/2;
			ret=check(ma,mb);
			if(ret.second>=b)
				lb=mb;
			else
				rb=mb;
			if(ret.second==b)
				break;
		}
		if(ret.first>=a)
			la=ma;
		else
			ra=ma;
	}
	check(la,lb);
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<res+la*a+lb*b;
}