不常见的计算技巧

阶梯数

如果要求形如 \((1 + p + p^2 + \ldots + p^{k})\) 这样的数，有一种快速的方法，类似递推，即我们不断迭代 \(t = t * (t + 1)\) 迭代 k 次，就能得到这个数。

原理是，我们每次的 +1 会引出来一个新的项，而前面的不断乘 t，总体上，数的的次方会呈阶梯式，具体如下：

\[\begin{aligned} t &= 1 \\ t &= t + 1\\ t &= t^2 + t + 1 \\ &\dots \\ t &= t^k + t^{k - 1} + \dots + t^2 + t + 1 \end{aligned} \]

迭代次数为 \(k\) 次，时间复杂度为 \(O(n)\)

当然，你也可以直接上等比数列求和，这样只需要 \(\operatorname O(\log n)\) 的时间。

满足勾股关系，就一定满足三边关系

因为勾股关系可以构建出直角三角形

神奇的补全？

如果目前 \(x\) 通过加一个数 \(a\) 达到 \(k\) 的倍数，那么有 \(a = (-x \bmod k)\) 也就是有 \(qk =x + (-x mod k)\) 这个的正确性是显然的，可以自行思考。也就是补到 \(qk\) 最近 \(k\)。