异或的神奇性质

异或作为特殊的运算方式，是非常nb的，它没有与、或的偏向性，是平衡的，可以自消，可以组合，是非常神奇的一类方式，也是因为这个，异或有诸多性质。

自消

异或非常神奇有：\(a \oplus a = 0,\ a \oplus b \oplus a = b\)，这种形式就非常方便进行类似差分式的消去，可以利用前缀和来求出来一段的异或和。

前 n 项的异或和

即 \(S_n = 1 \oplus 2 \oplus \ldots \oplus n\)，通过打表可以得出来下面的输出：

1 1
2 3
3 0
4 4
5 1
6 7
7 0
8 8
9 1
10 11
11 0
12 12
13 1
14 15
15 0
16 16
17 1
18 19
19 0
20 20

我们发现异或和可以每四个一组分成下面这种情况：

1  3  0  4
1  7  0  8
1  11 0  12
1  15 0  16
1  19 0  20

这是有规律的循环节，可以发现当一个性质，假设 \(n | 4\)，那么一个循环节为 \(1, n - 1, 0, n\)。

利用这个性质就可以快速求出前 \(n\) 项异或和，又因为，本身异或和有自消的性质，于是有：

\[S_r \oplus S_l = S_{[l + 1, r]} \]

所以说打表在很多情况下有奇效。

虽然说的找规律找出来的，但是为什么有这种规律呢，很难说，只能说去模拟去感受感受。

自反异或

突发奇想想出来的，既然前缀异或和有规律，那么 \(n\oplus -n\) 有什么规律呢。打表出来，貌似还真有点说法：

1 -2
2 -4
3 -2
4 -8
5 -2
6 -4
7 -2
8 -16
9 -2
10 -4
11 -2
12 -8
13 -2
14 -4
15 -2
16 -32
17 -2
18 -4
19 -2
20 -8
21 -2
22 -4
23 -2
24 -16
25 -2
26 -4
27 -2
28 -8
29 -2
30 -4
31 -2
32 -64
33 -2
34 -4

我们可以发现一个性质，设 \(n = k * 2^u\)，\(k\) 的因子不含 \(2\)，那么有 \(n \oplus -n = -2^{u + 1}\)。这个也是同理不好证明，但是模拟可以理解一些意思。（测试 \(10^9\) 里面的全符合的）。

也就是说，通过这个操作我可以很快的求出一个数有几个 \(2\) 因子。也就是 \(\operatorname O(\log n)\) 甚至 \(\operatorname O(1)\) 的求出一个数有几个 \(2\) 的因子。__builtin_ctz(i) 可以直接求二进制末尾连续有多少个 0,也就是变相求出来有 \(i\) 有几个 \(2\) 因子。

从这里开可以再试试别的方法形成的序列，比如 i ^ (i - 1) 或者别的什么，可以发现都或多或少有某些规律。

所以说我们可以得到一个不算严谨的规律，有两个及以上规律变化的变量参与的异或运算得到的序列，一定是一个有规律序列。这是一种经验规律，也是异或这种操作 “平衡性” 的体现。

同时还有一点，像是 \(i\) 和 \(i + 1\) 这种数字是有非常强的规律的，他们形成的序列也多半是规律序列。对于这些规律序列，证明是很困难的了，所以要善用打表。

拼凑异或

异或本质上是相同为 \(0\)，不同为 \(1\)，因此如果一个数恰好是 \(2^k\)，那么只要 \(2^u\) 不和 \(2^k\) 相等，那么就有 \(2^k \oplus 2^u = 2^k + 2^u\)，基于这个原理，我们可以拆分一个数字，我们知道一个十进制的数字，以可以写成二进制的形式 ，那么一个数就可以通过这些二进制位上的 1 拆开成一堆 \(2^k\) 异或的形式。如：

\[22 = 10110(2) = 2^1 \oplus 2^2 \oplus 2^4 \]

通过把一个数的异或给散开，可以让我们找到一些更本质的性质，从而解决问题。

零异或

众所周知，异或是不同为 \(1\)，相同为 \(0\)，那么如果直接异或 \(0\) 或者 \(1\) 的话会如何？有下表：

0 0 = 0
0 1 = 1

1 0 = 1
1 1 = 0

可以发现异或 \(0\) 的话可以保留原值，异或 \(1\) 的话是取相反数，利用这个性质可以有很多玩法。

同时，这个操作也像是不进位的加法，用处多多。

异或

异或 ^，它有个性质，即 a ^ b == (a | b) - (a & b)。

推导：异或的运算方法就是相同为 \(0\)，不同为 \(1\)。我们把它和或运算相比，可以发现，除非两位上都是 \(1\)，否则 ^ 和 | 的结果是相同的。 而对于都为 \(1\) 的情况，异或为 \(0\)，或为 \(1\)，因此我们可以看做，异或就是或运算之后减去了都为 \(1\) 的位的数。而恰好，两位都为 \(1\) 的情况就是与，因此我们可以得到 a ^ b == (a | b) - (a & b)。

从某种方面说，异或就是不进位的加法。

异或具有交换律，结合律。其中交换律比较显然（数的先后关系不影响运算结果）。下面证明结合律。

证明：（待补）
设 \((a \oplus b) \oplus c\)，我们设 \(d = a \oplus b\)，我们知道，异或就是相同为 \(0\)，不同为 \(1\)，那么对于 d 二进制下的每一位就代表了 a 和 b 对应位的关系。假设 d 的这一位为 1，则说明 a 和 b 这一位一定一个 1 一个 0，

a ^ b = (~a & b) | (a & ~b)  

数值转换

异或满足对于 \(a\oplus b=c\) 时，\(a\oplus c=b\)，\(b\oplus c=a\)这两个式子同样成立，即等式两边可以交换。可以由自消的性质去搞出来。

不等关系

有一条，因为异或是不进位加法所以有 \(a \oplus b \le a + b\)，所以合起来永远小于等于加起来。

异或操作本身可能会增加也可能减少，也是一种不稳定的操作。

一些思路

目前的异或题通常都是考异或本身的性质，而很少是转化成别的运算符，因为异或本身的性质很好，可以结合，交换，和加法很像，但是如果把异或转化成与、或的话，反而会变得很麻烦，因为一种操作符总归是要比多种要好得多。所以做题的时候不如去看看有什么性质。