浮点数的那些事

待补，含部分AI

浮点数是遵循 IEEE 754 的标准规定存储的，浮点数主要是由符号位，指数位和尾数这三部分组成的，而且有一些特殊的规定，其中包含 NaN 这个恶心人的玩意。

浮点数主要也就是32位单精度和64位双精度这两种：

特性	单精度 (float)	双精度 (double)
总位数	32 位	64 位
符号位	1 位	1 位
指数位	8 位	11 位
尾数位	23 位	52 位
指数偏移量 (Bias)	127	1023
有效精度	约 7 位十进制数	约 16 位十进制数

浮点数本身是通过类似科学计数法的办法进行存储的，即：

\[数值 = (-1) ^ s \times 1.xxx \times 2^m \]

其中的 \(m\) 就是指数位的数值，而尾数就是 \(1.xxx\)，\(s\) 就是符号位。

通过这种方式可以保证数组的大小和部分精度，但是因为尾数的原因，精度丢失是几乎必定的，所以一般浮点数对比都是看数值差距有多少，如只要 abs(n - m) < 1e-6 就基本上可以认为 \(n\) 和 \(m\) 数值相同。

# 浮点数的底层原理和精度损失问题 这篇文章有很多额外信息，剩下的就看看这个把。

特殊的规定

浮点数也有些特殊的规定，基本上都是围绕着指数位来规定的。

下面是 AI 写的，不过可以看看。

1. 指数采用“移码”，但有特例（全0和全1被征用）

• 单精度偏置127，双精度1023。但指数位全0和全1不参与常规移码运算，它们被强行征用做特殊标志。

2. 规定“非规格化数”（Denormalized Numbers）—— 让下溢更平滑

• 普通情况：尾数隐含前导 1（即 1.xxx1.xxx）。

• 特殊规定（指数全0时）：隐含前导 1 强制变成 0（即 0.xxx0.xxx），且指数固定为 -126（单精度）或 -1022（双精度）。

• 作用：允许表示比最小规格化数还小的数（渐进下溢），防止两个极小数相减直接变成0。代价：处理非规格化数的运算极慢（可能慢数十倍）。

为什么会出现隐含前导 \(0\) 呢？是因为指数位已经低到最低了，没法继续再低了，因此卡死了，所以出现了前导 \(0\)。

这种限制导致了非规格化数有一个极端的边界：

• 最小规格化数：\(1.000×2^{−126}\)

• 最大非规格化数：\(0.111×2^{−126}\)

• 最小非规格化数：\(0.001×2^{−126}\)

3. 规定“正零”和“负零”（±0）

• 符号位可以是0也可以是1，指数和尾数全为0。

• +0 和 -0 在数值比较中相等，但在某些数学函数（如 1/-0 会得到 -Inf）中有不同表现。

4. 规定“无穷大”（Inf）和“非数字”（NaN）

• 无穷大：指数位全1，尾数全0。符号位区分正负。

• NaN（Not a Number）：指数位全1，尾数不为0（只要不为0就是NaN）。

  • 还细分 静默NaN（sNaN） 和 信号NaN（qNaN），前者安静传递，后者会触发浮点异常信号。

5. 规定“舍入模式”（默认向偶数舍入）

• 不采用截断。默认是 “就近舍入，平局向偶数”（Round to Nearest, Ties to Even）。

• 特殊规定：如果真实结果正好卡在两个可表示数的正中间，看目标最低有效位，选偶数的那个。这是为了保证舍入误差在统计上不偏向正无穷或负无穷。