取整技巧

上取整

对于上取整，有 \(\lceil \frac a b \rceil = \lfloor \frac {(a + b - 1)} {b} \rfloor\)，即 ceil(1.0 * a / b) = (a + b - 1) / b。

上取整的本质就是：余数不为 \(0\)，则结果加 \(1\)；余数为 \(0\)，结果不变。因为 C++ 的除法（本质上是向 \(0\) 除法）在正数的情况下就是向下除法。因此我们可以直接加上 \(b - 1\)，那么当余数 \(r\) 大于等于 \(1\) 时，因为 \(b - 1 \ge r \ge 1\)，所以 \(2b \ge 2(b - 1) \ge r + b - 1 \ge b\)，所以 \(\lfloor \frac r b \rfloor = 1\)。通过这种方法，可以避免使用 \(ceil\)，更方便一点。

四舍五入

C++ 中四舍五入可以使用 \(round\) 函数，也可以直接使用整数代替。有round(1.0 * x / y) = (a + b / 2) / b。

证明：设 \(r = a \bmod b,\ k = \lfloor \frac a b \rfloor\)，对于四舍五入，实际上就是当 \(r \div b >= \frac 1 2\) ，即 \(r \ge \frac 1 2 b\) 时，那么结果加一，否则结果不变。因为 \(b - 1 \ge r \ge \frac 1 2 b\)，所以 \(2b > b - 1 + \frac 1 2 b \ge r + \frac 1 2 b \ge b\)，所以当 \(r \ge \frac 1 2 b\) 时，\(\lfloor \frac{r + \frac 1 2 b}{b} \rfloor = 1\)。 得证。