裴蜀定理

对于任意整数 \(a,b\)，一定存在非全为零的整数 \(x,y\) 使得

\[ax + by = \gcd(a, b) \]

即 $$ax + by = d$$

证明

裴蜀定理的证明是构造性的（由此可见，这东西的发现是多么伟大而困难的存在），假设 \(a = k_1d, \quad b = k_2d, \quad \gcd(k_1, k_2) = 1,\quad k_1 > k_2\)，如果要证：

\[ax + by = d \]

即要证：

\[k_1x + k_2y = 1 \]

因为 \(k_1\) 和 \(k_2\) 互质，所以 \(k_1 \not = k_2\)，所以总会有 \(k_3 = k_1 - mk_2 < k_2\)，k_3 可以由 \(k_1,k_2\) 组合出来。所以一定有 \(k_i\) 就可以一直变小。最终可能分两种情况：

1. 当 \(k_i = 1\) 时，此时只要凑出 \(k_i\)，就可以使等式成立。
2. 当 \(k_{i - 1} = m_ik_i,k_i \not = 1\) 时，因为 \(k_1\) 和 \(k_2\) 互质，如果 \(k_i\) 和 \(k_{i - 1}\) 不互质，那么 \(k_{i - 2} = m_{i - 1}k_{i - 1} + k_i = (m_{i - 1} + 1)k _ i\) 和 \(k_{i - 1} = m_ik_i\) 也不会互质，向上推，就会说明 \(k_1\) 和 \(k_2\) 不互质，不成立。
   因此一定存在 \(k_i = 1\)，此时等式成立，从而证明正确。(实际上上面这一步和欧几里得算法很像) 。

推广

实际上裴蜀定理可以推广到 \(n\) 个数，形式如下：

\[a_1k_1 + a_2k_2 +\dots +a_nk_n = \gcd(a_1, a_2, \ldots,a_n) \]

推导：
因为有

\[ax + by = \gcd(a,b) \]

那么就有

\[kd + cz =\gcd(d,z) \]

就等于

\[ax + by + cz = \gcd(a, b, c) \]

以此类推，就可以推广到 \(n\) 个数。

扩展

\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，\(a,b\) 形成的其他等式都是从这个放大（或者变化）而来。

反证法：假设存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，因为 \(d|a,\;d|b\)，所以 \(a = k_1d,\; b =k_2d\)，所以有 \(k_1x' + k_2y' = k/d\)，又因为 \(k < d\)，所以 \(k/d\) 一定是一个小数，而 \(k_1,\; k_2,\; x',\; y'\) 都是整数，因此 \(k_1x' + k_2y' \not= k/d\)，与假设矛盾。因此不存在 \(ax' + by' = k\) 使得 \(k < \gcd(a,b) = d\)，即：\(ax + by = \gcd(a, b)\) 是 \(a,b\) 能够形成的最基本的等式，命题得证。

这个也说明了 \(\gcd(a,b)\) 的基本性质。即等式只能由 \(ax + by = \gcd(a, b)\) 扩大而来，而不能缩小。而且因为 \(x,y\) 是不断变化的，所以如果式子要扩大，就必须扩大整数倍。

综上，我们可以推出，凡是形如 \(ax' + by' = k\) 的等式，\(k\) 一定能被 \(\gcd(a,b)\) 整除，否则等式不能成立。