最大公约数和最小公倍数

我们知道，两个数的最大公约数可以用过辗转相除法获得，而两个数的最小公倍数可以通过最大公约数求出。即：

\[\operatorname {lcm}(a,b) = ab \div \gcd(a, b) \]

证明：设 \(a = k_1 d,\; b = k_2 d,\; d = \gcd(a,b)\)，因为 \(\operatorname {lcm}(a,b) = k_1 \times k_2 \times d\)。所以 \(\operatorname {lcm}(a,b) = ab \div d\)。

这是最常见的情况，只涉及两个数那如果涉及多个数该怎么办。

多个数的最大公约数

首先我们知道，每个数 \(x\) 都可以分解成一堆质数相乘的形式。而最大公约数，就是所有数都有的质数的乘积而已，即 \(d = \prod_{i = 1}^k p_i^{\min(a_i, b_i,c_i)}\)。

所以，每多一个数，这个最大公约数的限制就会增多，设 \(d = \gcd(a,b,c), d_1 = \gcd(a,b)\)，那么自然有 \(d | d_1\)（\(d_1\) 的限制少于 \(d\)），即 \(d\) 所含的质数， \(d_1\) 里面一定也含有，因此可以得到：\(\gcd(a,b,c) = \gcd(\gcd(a,b),c)\)。

而这就是我们最常用的求多个数最大约数的方式，即：\(a,b,c\) 的最大公约数等于 \(a,b\) 的最大公约数和 \(c\) 的最大公约数。\(\gcd(a,b,c) = \gcd(\gcd(a,b),c)\)。

或者从另一方面想，因为

\[\begin{aligned} &\gcd(a,b,c) = \prod_{i = 1}^k p_i^{\min(a_i, b_i,c_i)} = \prod_{i = 1}^k p_i^{\min(\min (a_i, b_i),c_i)}\\ &\gcd(a, b) = \prod_{i = 1}^k p_i^{\min(a_i, b_i)} \end{aligned} \]

因此：\(\gcd(a,b,c) = \gcd(\gcd(a,b),c)\)。这样可能更容易理解。

多个数的最小公倍数

和最小公约数不同，最小公倍数不是每个数都共有的质数乘积。而是每个数具有质数最大次数的乘积，即：$$d = \prod_{i = 1}^k p_i^{\max(a_i, b_i,c_i)}$$可以看出最小公倍数和最大公约数是正好反着来的。

根据这个原理来说，因为：

\[\begin{aligned} &\operatorname {lcm}(a,b,c) = \prod_{i = 1}^k p_i^{\max(a_i, b_i,c_i)} = \prod_{i = 1}^k p_i^{\max(\max(a_i, b_i),c_i)} \\ &\operatorname {lcm}(a,b) = \prod_{i = 1}^k p_i^{\max(a_i, b_i)} \end{aligned} \]

所以 \(\operatorname {lcm}(a,b,c) = \operatorname {lcm}(\operatorname {lcm}(a,b), c)\)。而我们又知道 \(\operatorname {lcm}(a,b) = ab \div d\)，所以可以 \(\gcd\) 来求出 \(\operatorname {lcm}\)。这就是多个数的最小公倍数的处理办法。

在取模下的最小公倍数 与 最大公约数

对于两个数 \(a,b\) 来说，他们的取模同一个数 \(p\) 后的最小公倍数 \(k\) 和他们各自取模后的最小公倍数的取模一样。即：

\[\operatorname {lcm}(a,b) \bmod p = \operatorname {lcm}(a \bmod p + b\bmod p)\bmod p \]

更广泛地说，\(a,b\) 在取模后的 \(lcm\)，和他们取不取模无关。

对于两个数 \(a,b\) 来说，他们的取模后的最大公约数 \(k\) 和他们各自取模后的最大公约数的取模一样。即：

\[\gcd(a,b) \bmod p = \gcd(a \bmod p + b\bmod p)\bmod p \]

更广泛地说，\(a,b\) 在取模后的 \(\gcd\)，和他们本身取不取模无关。

以上两条都是错误的，可以相对轻松的举出反例。其原因在于，\(\operatorname {gcd}\) 和 \(\operatorname {lcm}\) 的操作形式上取决于加法（存在未知数），但根本上取决于 \(a,b\) 两数的因数关系。取模操作破坏了 \(a\) 和 \(b\) 的因数关系，从而早就错误的结果。因此可以看出，在取余操作下，是否相同取决于其本质是否为加法。