中国剩余定理（新）

定理内容

中国剩余定理（孙子定理），这是用来解出一堆线性同余方程组同一解的定理，通常会给出一堆同余方程。如下，其中任意两个 \(m_i\) 互质，求解 \(x\)

\[\left \{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x & \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ x & \equiv a_3 \pmod {m_3} \\ & \dots \\ x & \equiv a_n \pmod {m_n} \end{aligned} \right . \]

在定理中设有几个变量 \(M,M_i,t_i\)，对于他们有关系

\[\begin{aligned} &M = m_1 \times m_2 \times m_3 \times \dots \times m_n \\ &M_i = M \div m_i \\\\ &M_i \times t_i \equiv 1 \pmod {m_i} \end{aligned} \]

可以看出，其中 \(t_i\) 是 \(M_i\) 关于 \(m_i\) 的逆元。而 \(x\) 有

\[x = \sum^{n}_{i = 1} a_i \times M_i \times t_i \]

证明

由上面我们可以知道，中国剩余定理是通过构造来得到一组解, 因此只需要证明可行性即可。

你可以尝试带入进去。比如这里带入第一个式子 \(x \equiv a_1 \pmod {m_1}\)。因为 \(x\) 中除了第 \(1\) 项, 其他所有的 \(a_i \times M_i \times t_i\) 中的 \(M_i\) 里面都有 \(m_1\) 这个因子，那么其他项就可以被取模 \(m_1\) 给完美消掉，只剩下第一项 \(a_1 \times M_1 \times t_1\)。

又因为 \(M_i \times t_i \equiv 1 \pmod {m_i}\)， 那么 \(M_1 \times t_1\) 在取模 \(m_1\) 下就为 \(1\) ，那么就只剩下 \(a_1\)，符合等式 \(1\)，对于其他的等式同理, 这就说明，这是一个正确解。

关于 \(t_i\) 一定存在

证明1

有：

\[\begin{aligned} &M_i \times t_i \equiv 1 \pmod {m_i} \\ &M_i = M \div m_i \\ &\gcd(M_i,m_i) = 1,i \not = j \end{aligned} \]

因为 \(\gcd(M_i,m_i) = 1,i \not = j\)。通过裴蜀定理可得式子 \(M_i \times x + m_i \times y = 1\)。

而 \(M_i \times t_i \equiv 1 \pmod {m_i}\)，可以化成等式 \(M_i \times t_i + m_i \times y = 1\)。

那么 \(M_i \times x + m_i \times y = 1\) 中的 \(x\) 就是 \(t_i\)。\(M_i\times x + m_i \times y = 1\) 存在，等式\(M_i \times t_i + m_i \times y = 1\) 就一定存在，\(x\) 一定有解，即 \(t_i\) 一定有解，那么 \(t_i\) 就一定可以通过 exgcd 求出。

证明2

证明 \(t_i\) 存在，即证明 \(M_i\) 在取模 m_i 的下存在逆元，即证明 \(M_i\) 与 \(m_i\) 互质即可。

因为 \(M_i\) 中不含 \(m_i\)，而其余 \(m_j\) 和 \(m_i\) 互质，因此 \(m_j\) 的乘积也和 \(m_i\) 互质，因此 \(M_i\) 和 \(m_i\) 互质。因此 \(t_i\) 一定存在。命题得证。

通解

值得一提的是 \(M\) 是所有 \(m_i\) 的乘积，那么通解应该也就知道了，即 \(x = x_0 + k \times M\)
我 \(x\) 加上 \(k\) 个 \(M\) 不影响每个 \(m_i\) 取余，它还是 \(a_i\)，也就都是合法解。（这里有多组解的原因也是, 有 \(n\) 个式子但能找出来 \(n + 1\) 个未知数（把同余方程列乘等式），因此有无数解）而我们也知道，\(M\) 是最小的递推量了。

所以最小正整数解就是用代码就是 (x % M + M) % M。

应用