推一推复数乘法

　　网上看到有人介绍复数乘法的集合变换，先旋转再拉伸

　　如计算x * y：

　　1.将△yOA逆时针旋转∠xOA的角度

　　2.得到△y'OA'

　　3.将△y'OA'延伸使得A'落于点x

　　4.此时y'落点z即为x * y的结果

 

　　看着描述，这个操作好像没那么直观，但认真一品，这z不就是x、y角度相加，长度相乘吗？

　　这个是恒成立的吗，用代数验证一下：

　　x : a + bi

　　y : c + di

　　z = x * y = (ac - bd) + (ad + bc)i

　　

　　∵

　　|x| = (a² + b²)^-1/2

　　|y| = (c² + d²)^-1/2

　　∴

　　|z| = ((ac - bd)² + (ad + bc)²)^-1/2

　　    = (a²c²  + b²d² - 2abcd + a²d² + b²c² + 2abcd)^-1/2

　　    = (a²c² + b²d²  + a²d² + b²c²)^-1/2

　　    = (a² + b²)^-1/2 * (c² + d²)^-1/2

　　    = |x| * |y|

　　∴长度即为模长相乘

 

　　∵

　　cos∠xOA = a / (a² + b²)^-1/2

　　sin∠xOA = b / (a² + b²)^-1/2

　　cos∠yOA = c / (c² + d²)^-1/2

　　sin∠yOA = d / (c² + d²)^-1/2

　　

　　cos∠zOA = (ac - bd) / ((a² + b²)^-1/2 * (c² + d²)^-1/2)

　　　　　　 = cos∠xOA * cos ∠yOA - sin∠xOA * sin∠yOA

　　　　　　 = cos(∠xOA + ∠yOA)

 

　　sin∠zOA = (ad + bc) / ((a² + b²)^-1/2 * (c² + d²)^-1/2)

　　　　　　 = cos∠xOA * sin∠yOA + sin∠xOA * cos∠yOA

　　　　　　 = sin(∠xOA + ∠yOA)

　　∴∠zOA = ∠xOA + ∠yOA

　　∴角度即为角度相加

 

　　综上，两复数相乘几何表现即为：角度相加，长度相乘