最佳逼近多项式

来源：卓里奇《数学分析》（第7版） 第四章 习题T10，11，13

定义1 最佳逼近多项式
设\(P_n(x)\)是不高于\(n\)次的多项式，我们用多项式来逼近有界函数\(f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)，
定义误差函数(\(L_\infty\)范数的意义下)$$\triangle(P_n)=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-P_n(x)|$$
与最佳逼近误差$$E_n(f)=\inf_{P_n}\triangle(P_n)$$
若\(\triangle(P_n)=E_n(f)\)，则称多项式\(P_n\)为函数的n次最佳逼近多项式

注1 从某种意义上，我们可以将这个定义理解为在配备度量$$d(f,g)=\sup_{x\in I}|f(x)-g(x)|$$的连续函数空间\(C[a,b]\)上，函数\(f\)到子空间\(\rm{span} \{1,x,\cdots,x^n\}\)的距离

我们下面证明最理想的情况：对闭区间上的有界连续函数\(f\)，存在\(f\)的任意次数的最佳逼近多项式。
为证明此定理，我们先给出如下几个引理（T10）

引理1 (原T10(a)) 存在零次最佳逼近多项式。

事实上，记\(M,m\)分别为函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)上的上下确界，那么\(P_0(x)=\dfrac{M+m}{2}\)就是零次最佳逼近多项式

引理2 (原T10(b)) 对任意一个多项式\(Q(x)\)，存在此多项式的一个倍数\(\lambda_0Q(x)\)，使得$$\triangle(\lambda_0Q(x))=\inf_{\lambda\in\mathbb{R}}\triangle(\lambda Q(x))$$
也即可以取到倍数多项式中与原函数的\(L_\infty\)距离最小的一个

我们先说明\(d(\lambda):=\triangle(\lambda Q(x))\)关于\(\lambda\)在一致连续
对任两个实数\(\lambda\ne\lambda'\)，考虑如下绝对值不等式成立：$$|f(x)-\lambda Q(x)|\le|f(x)-\lambda'Q(x)|+|\lambda-\lambda'||Q(x)|$$
而在闭区间\([a,b]\)上\(Q(x)\)有界，故令$$K:=\sup_{x\in[a,b]}|Q(x)|>0$$
所以若\(|\lambda-\lambda_0|<\dfrac{\epsilon}{K}\)，有$$|f(x)-\lambda Q(x)|\le|f(x)-\lambda'Q(x)|+|\lambda-\lambda'||Q(x)|\le|f(x)-\lambda'Q(x)|+\epsilon$$
即$$\triangle(\lambda Q(x))\le\triangle(\lambda'Q(x))+\epsilon$$
另一边同理，可得\(|\triangle(\lambda Q(x))-\triangle(\lambda'Q(x))|\le\epsilon\)，进而断言成立

由于\(d(\lambda)\)非负，故令\(\mu\)为\(d(\lambda)\)的下确界，是故存在实数列\(\{\lambda_k\}\)，使得 \(d(\lambda_k)\rightarrow\mu(k\rightarrow+\infty)\)
从\(f\)有界可得知\(\{\lambda_k\}\)有界（否则\(\lambda Q(x)\)无界），故存在\(\{\lambda_k\}\)的收敛子列，不妨让\(\{\lambda_k\}\)收敛且收敛至\(\lambda_0\)
所以有$$d(\lambda_0)=d(\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_k)=\lim_{n\rightarrow\infty}d(\lambda_k)=\mu$$
引理2得证！

引理3 (原T10(c)) 若对闭区间上的任何连续函数\(f\)，都存在\(n\)次最佳逼近多项式，那么也存在\(f\)的\(n+1\)次最佳逼近多项式

令\(r(\lambda):=E_n(f-\lambda x^{n+1})\)，用引理2中相似的手法可以证明\(r\)关于\(\lambda\)在\(\mathbb{R}\)上连续，而且加之以\(r\)非负，可令\(\mu\)为\(r\)的下确界
于是存在\(\{\lambda_k\}\)使得 \(r(\lambda_k)\rightarrow\mu(k\rightarrow+\infty)\)
在\(|f(x)-\lambda x^{n+1}-P_n(x)|+|f(x)|\ge|\lambda x^{n+1}+P_n(x)|\)中两边取上确界可知$$\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-\lambda x^{n+1}-P_n(x)|+\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|\ge\sup_{x\in[a,b]}|\lambda x^{n+1}+P_n(x)|$$

取\(\lambda=\lambda_k(k=1,2,\cdots)\)，则有上式左边两项均有界，而右式非负，于是乎右式也有界
借由\((b)\)中相似的推导可知\(\{\lambda_k\}\)有界，从而\(\{\lambda_k\}\)存在收敛子列，设其收敛至\(\lambda_0\)
且由假设，取\(f-\lambda_0 x^{n+1}\)的\(n\)次最佳逼近多项式\(P_n(x)\)
不难得到\(\lambda_0 x^{n+1}+P_n(x)\)即为\(f\)的\(n+1\)次最佳逼近多项式，引理3得证

推论1（定理1） 对闭区间上的有界连续函数\(f\)，存在\(f\)的任意次数的最佳逼近多项式

用引理1和引理3归纳即可证明推论1，由此定理1得到了证明

定理2（de la Vallée-Poussin 定理） 如果在闭区间\([a,b]\)上有\(n+2\)个点\(x_0<x_1<\cdots<x_{n+1}\)，使得\(f(x_i)-P_n(x_i) \space (i=0,1,2,\cdots,n+1)\)这\(n+2\)个量的符号交错排列，那么$$E_n(f)\ge\min_{0\le i\le n+1}|f(x_i)-P_n(x_i)|$$

我们用反证法证明定理2，若结论不然，则存在\(Q_n(x)\)，满足\(|f(x)-Q_n(x)|<|f(x_i)-P_n(x_i)|\)对任意\(i=0,1,2,\cdots,n+1,x\in[a,b]\)成立
于是\(Q_n(x)-P_n(x)\)与\(f(x)-P_n(x)\)在\(x=x_i\)时同号\((i=0,1,2,\cdots,n+1)\)，故符号交错
由介值定理，\(Q_n(x)-P_n(x)\)在\([a,b]\)上至少有\(n+1\)个零点，然而\(\deg(Q_n-P_n)\le n\)，故\(Q_n=P_n\)，矛盾，从而定理2获证

可以看到定理2是确定函数最佳逼近误差的下界的强有力的工具

推论2 定义\(T_n(x)\)为切比雪夫多项式，令\(P_n(x)=x^n-\dfrac{T_n(x)}{2^{n-1}}\)，取\(x_m=\cos \dfrac{m}{n}\pi\)，由定理2可知$$E_{n-1}(x^n) \ge \min_{0\le m\le n} |\frac{T_n(x_m)}{2^{n-1}}| = \frac{1}{2^{n-1}}$$
并且这个结果是最优的。
这个推论的另一种解读：所有\(n\)次首一多项式中，在\([-1,1]\)上绝对值最大值\(\ge \dfrac{1}{2^{n-1}}\)，当\(P_n(x)=\dfrac{T_n(x)}{2^{n-1}}\)时取等

定理3 （Chebyshev 交错点组定理） \(n\)次多项式\(P_n(x)\)是函数\(f\in C[a,b]\)的最佳逼近多项式的充要条件是在闭区间\([a,b]\)上存在至少\(n+2\)个切比雪夫交错点的点组（即\(a\le x_0<x_1<\cdots<x_{n+1}\le b\)，满足\(|f(x_i)-P_n(x_i)|=\triangle (P_n)\)，且\(f(x_i)-P_n(x_i)(i=0,1,2,\cdots,n+1)\)这\(n+2\)个值符号交错）

充分性由de la Vallée-Poussin定理不难证到，下面证明必要性
反证法，若闭区间上切比雪夫交错点组中点至多\(k\)个（\(k\le n+1\)），则设其为\(a\le x_1<x_2<\cdots<x_k\le b\)（特别地，若有多个满足条件的点组，取字典序最小的一组）
想法是构造\(L_\infty\)距离更小的多项式，实现方法则是在\(P_n(x)\)上加一个扰动项\(\lambda d(x)\)，其中\(\deg d\le n\)，\(\lambda\)待定
由于\(f(x_i)-P_n(x_i)\space(i=1,2,\cdots,k)\)符号交错，故\(r(x):=f(x)-P_n(x)\)在区间\((x_i,x_{i+1})(1\le i<k)\)上有零点，取\(r_i\)为\(r(x)\)在区间\((x_i,x_{i+1})\)上最大的零点
记多项式$$d(x)=A\cdot \prod_{i=1}^{k-1}(x-r_i)$$
则\(\deg d=k-1\le n\)，且可取\(A\in\{+1,-1\}\)使得\(r(x_1)\)与\(d(x_1)\)异号，则可见\(r(x_i)\)与\(d(x_i)\)异号对任意\(i=1,2,\cdots,k+1\)成立
下面我们说明：存在\(\lambda>0\)使得$$|f(x)-(P_n(x)-\lambda d(x))|=|r(x)+\lambda d(x)|<\triangle P_n(x)$$
我们先对每个\((r_{i-1},r_i)\)考虑，以\(d(x)>0\)的一段为例：这段上存在一个交错点\(x_i\)，由\(r(x_i)\)与\(d(x_i)\)异号知\(r(x_i)<0\)（即\(r(x_i)=-\triangle (P_n)\)）
于是\((r_{i-1},r_i)\)上不存在满足\(r(x)=\triangle (P_n)\)的点（事实上，若存在，或者\(x\in (r_{i-1},x_i)\)，或者\(x\in (x_i,r_i)\)，然而前者与\(r_{i-1}\)的最大性矛盾，后者与\(x_i\)在点组中字典序最小矛盾，因而都不可能）
是故在区间上可定义$$dist_i(x)=\frac{\triangle(P_n)-r(x)}{d(x)}>0\space (r_{i-1}<x<r_i)$$
并且\(dist(x)\)在趋于\(r_{i-1}\)与\(r_i\)时都趋向于正无穷，于是该函数在区间上存在最小值\(\lambda_i>0 \space (2\le i\le k-1)\)，当取\(\lambda\)满足\(0<\lambda<\lambda_i\)时，容易验证在区间\((r_{i-1},r_i)\)上\(|r(x)+\lambda d(x)|<\triangle (P_n)\)
两个边界\([a,r_1)\)与\((r_{k-1},b]\)的情况相似，可取出\(\lambda_0, \lambda_k\)

最后，我们取\(\lambda\)满足\(0<\lambda<\min\{\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_k\}\)，那么由前述论证：\(\triangle(r+\lambda d)<E_n(f)\)，矛盾！
故一定存在点数不少于\(n+2\)的切比雪夫交错点组，定理3得证

注2 函数不连续时，此定理不成立，例如：

\[f(x)=\left\{ \begin{aligned} &x^2 &x\in(0,1)\\ &x-\dfrac{1}{8}&x=0,1 \end{aligned} \right. \]

该函数在\([0,1]\)上的最佳一次逼近为\(P_1(x)=x-\dfrac{1}{8}\)，但此时只有1个交错点